Page 59 - Лекція 1

1. Нехай y 1 e k x , y 2 e k x і k 1 k
1
2
2

Тоді
1
y e k x ( k k ) x
1 e 1 2 const
y 2 e k x
2

тому y і y – лінійно незалежні
1
2

2
2
2. y 1 5 x , y 2 x – лінійно залежні функції,
оскільки
y 5 x 2
1 5 const
y 2 x 2

Про лінійну залежність розв язків ДР можна судити за
допомогою вронскіана - визначника Вронського
(Ю. Вронський (1775-1853) – польський математик ).

Вронскіан

y x( ) y x( )
1
2
= W y y( 1 , 2 ) W x( ), (4.6)
y x( ) y x( )
1
2

який складено з функцій y ( x y), 2 ( x) та їх похідних. Це
1
функціональний визначник, оскільки залежить від x.
Теорема 1. Якщо розв язки y і y рівняння (4.4)
2
1
лінійно залежні на проміжку ( , )a b , то