Page 58 - Лекція 1

y P x( ) y Q x y( ) 0 , (n ) 2 (4.4)

Рівняння (4.4) має очевидний розв язок y x( ) 0
(нульовий, тривіальний), для якого y 0, y 0 і рівняння

обертається на тотожність. Цікавим є знаходження
нетривіальних розв язків цього рівняння.
Нагадаємо, що дві функції називаються лінійно
залежними на інтервалі ( , )a b , якщо є сталі 1 , 2 R , які

одночасно не дорівнюють нулю, що x ( a b, ) лінійна
комбінація
y
y
1 1 2 2 0 . (4.5)
Якщо таких чисел 1 і 2 немає, тобто (4.5)
x
виконується лише при 1 2 0 , то функції y ( ) і
1
x
y ( ) називаються лінійно незалежними. Два лінійно
2
незалежні розв язки рівняння (4.4) називають
фундаментальною системою розв язків.
x
x
Очевидно, коли y ( ) і y ( ) є лінійно залежні, то
1
2
вони пропорційні

y 1 2
C const
y 2 1

x
x
Якщо y ( ) і y ( ) – лінійно незалежні, то
1
2

y
1 const
y 2

Приклади.