Page 57 - Лекція 1

y P x y( ) Q x y( ) f x( ) . (4.3)

Це рівняння є частинним випадком рівняння
y f x y y( , , ) і задовільняє умовам теореми Коші (про
існування і єдиність розв язку). Справді, функція
y f x y y( , , ) P x y( ) Q x y( ) f x( ) є непе-
рервною (як функція трьох змінних x y y, , ); частинні

похідні f ( x y y, , ) Q x( ), f ( x y y, , ) P x( )
y
y
також є неперервними функціями для будь-яких значень
змінних x y y, , . Тому для будь-яких початкових умов

y x( 0 ) y y x, ( 0 ) y , де x 0 ( a b, )
0
0

Задача Коші для рівняння (4.1) має єдиний розв язок.
Сформулюємо тепер теорему Коші для ЛДР (4.1).
Теорема. Якщо коефіцієнти P x Q x( ), ( ) і права
частина f x( ) ЛДР (4.1) є неперервні на інтервалі ( , )a b ,
то якими б не були початкові умови
y x( 0 ) y , y x( 0 ) y , де точка x 0 ( a b, ), існує
0
0
єдиний розв язок рівняння, що задовільняє цим початковим
умовам.

4.2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР)

Розглянемо деякі властивості розв язків однорідних
рівнянь