Page 48 - Лекція 1

Означення. Частинним розв язком (інтегралом)
називається розв язок (інтеграл), який дістають із загального
при конкретних значеннях C i C , i 1 2, ,..., n.
i0
Для рівняння (3.14) справедлива така теорема:
Теорема Коші. Якщо функція f та її частинні похідні

по y y, ,..., y ( n 1 ) неперервні в області D , яка містить
значення x , y , y y, 0 ,..., y 0 ( n 1) , то існує єдиний
0
0
0
розв язок, який задовольняє початкові умови
y x( 0 ) y y x, ( 0 ) y ,..., y ( n 1 ) ( x ) y 0 ( n 1 )
0
0
0
(3.15).
Задача, яка полягає в знаходженні розв язку рівняння (3.14) за
умов (3.15), називається задачею Коші.
Наявність у загальному розв язку (інтегралі) довільних
сталих очевидна: щоб від y ( n) перейти до y , треба

інтегрувати n разів, дістаючи щоразу нову довільну сталу.
В інженерній практиці найчастіше застосовують
рівняння другого порядку. Це зв язано в основному із
застосуванням другого закону Ньютона, формальний вигляд
якого містить другу похідну. Для рівнянь другого порядку
задача Коші має вигляд:

y f x y y( , , ), y x( 0 ) y y x, ( 0 ) y (3.16)
0
0

Вона має просте геометричне пояснення: через дану

точку (x y, 0 ) з даним кутовим коефіцієнтом y 0 проходить
0
єдина інтегральна крива.

3.3.2. Рівняння, які допускають зниження порядку.