Page 47 - Лекція 1

3.3. Диференціальні рівняння вищих порядків

3.3.1. Загальні відомості, означення

Диференціальне рівняння n порядку в загальному
вигляді записується так:
F x y y y( , , , ,..., y ( n) ) 0 , (3.13)

або, якщо це можливо, у вигляді, розв язаному відносно y ( n) :

y ( n) f x y y y( , , , ,..., y ( n 1 ) ) (3.14)

В окремих випадках ДР n го порядку може не
містити в явному вигляді x y y y, , , ,..., y ( n 1 ) , але
обов язково містить y ( n) .

Означення. Загальним розв язком (інтегралом) ДР
n го порядку називається функція
y ( x C C, 1 , 2 ,..., C ) ( ( , ,Ф x y C 1 ,C 2 ,...,C n ) 0 , яка
n
задовільняє умови:
1) перетворює рівняння при довільних
C C, 2 ,..., C на тотожність;
n
1
2) для довільних початкових умов
y x( 0 ) y y x, ( 0 ) y ,..., y ( n 1 ) ( x ) y 0 ( n 1 ) існують
0
0
0
,
такі C i C , i 1 2, ,..., n ( y 0 ( x y 10 ,y 20 ,...,y n0 ),
0
i0
при яких ці умови виконуються.