Page 31 - Лекція 1

y e P x dx( ) ( C Q x e( ) P x dx( ) dx) (2.21)

З (2.20) випливає: загальний розв язок лінійного
неоднорідного рівняння (2.14) є сумою його частинного
розв язку й загального розв язку відповідного однорідного
рівняння (2.15). Зауажимо, що при Q x( )=0 маємо розв язок
(2.16) однорідного рівняння (2.15).
Метод побудови розв язку у вигляді (2.17) називається
методом Лагранжа ( методом варіації довільної сталої).

Приклад. Маємо лінійне неоднорідне рівняння
2
x
y 2 xy e , x R

Відповідне однорідне рівняння y 2 xy 0 легко

dy x 2
інтегрується 2 xdx 0 , y Ce - загальний
y

розв язок .
Згідно з методом варіації довільної сталої розв язок
даного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
2
y C x e( ) x . Тоді

C x( ) e x 2 2 x C x( ) e x 2 2 xC x( ) e x 2 =

=e x 2 C x( ) 1

і
C x( ) x C
1
Отже,