Page 29 - Лекція 1

де P x( ) і Q x( ) – відомі функції, неперервні на інтервалі
( , )a b .
Рівняння називається лінійним тому, що в поданій
формі (2.14) невідома функція y x( ) і її похідна y входять у
рівняння лінійно, тобто в першому степені.
Якщо Q x( )=0, то рівняння називають лінійним
однорідним:

y P x y( ) 0 (2.15)

Однорідне рівняння (2.15) інтегрується просто: це є
рівняння з відокремлюваними змінними і тому маємо

dy
P x dx( ) 0 , ln y P ( )x dx lnC ,
y
Звідси
P x dx( )
y C e (2.16)

і є загальним розв язком рівняння (2.15).

2.3.1. Метод варіації довільної сталої.

Одержаний результат (2.16) використаємо для
розв язання неоднорідного рівняння (2.14). Для цього
застосуємо метод варіації довільної сталої. Суть його полягає
в тому, що у виразі (2.16) вважаємо C деякою функцією від
x і добираємо її так, щоб функція