Page 17 - Лекція 1

Задача, в якій треба знайти розв"язок рівняння (1.8) або
(1.7) у = у(õ) такий, що у(õ 0 ) = у 0, де (õ 0,у 0) – задана точка
з області визначення рівняння, називають задачею Коші.
Умови, за яких ДР (1.8) має розв"язок, визначають зміст
основної теореми теорії диференціальних рівнянь.
Теорема Коші (достатні умови існування та єдиності
розв"язку задачі Коші).
Якщо в рівнянні (1.8) функція f(õ,y) та похідна
2
f ( x y, )неперервні в області D R , яка містить точку
y
М 0(õ 0, y 0), то існує єдиний розв"язок цього рівняння, який
задовольняє умову у(õ 0) = у 0.
Геометрично це означає, що через кожну внутрішню точку
М 0(õ 0,у 0) області D проходить єдина інтегральна крива.
Загальним розв"язком ДР (1.8) називається функція у =
( õ,C), яка залежить від сталої C і задовольняє умови:
1) C вона є розв"язком рівняння (1.8);
2) для довільних початкових умов у(õ 0 ) = у 0 існує таке
значення C 0, що у 0 = ( õ 0 ,C 0).
Розв"язок, який дістають із загального при конкретному
значенні C 0 (у= (õ,C 0)) за допомогою початкових умов
називається частинним розв"язком рівняння (1.8).
Так для рівняння у' = 2õу з початковою умовою у(0) =
е загальним розв"язком є функція y e x 2 C , а частинним -
2
y e x 2 2 .

Якщо розв’язок дістаємо в неявному вигляді
Ф(õ,y,C) = 0, то це загальний або частинний Ф(õ,y,C 0) інтеграл
рівняння (1.7) чи (1.8).