Page 14 - Лекція 1

Співвідношення Ф(õ,у)=0, яке задає розв"язок рівняння
неявно, називається інтегралом рівняння. Якщо Ф(õ,у)=0 –
інтеграл рівняння (1.8), то згідно з ним
dФ x y( , ) Ф x y dx( , ) Ф x y dy( , ) , 0
y
x

тобто
Ф x y( , ) Ф x y( , ) f x y( , ) . 0 (1.10)
y
x

Функція õ= (t), у= (t), t D, задана параметрично, є
розв"язком диференціального рівняння (1.8), якщо

( )t
f ( ( ), ( ))t t при t D.
( )t
Приклад. Довести, що функція y x ( ), задана

t
t
параметрично x te y, e , є розв’язком рівняння
(1 xy y y 2 . 0
)
Розв’язання. Маємо
dy dy dx e t e t 2
: .
dx dt dt e t te t 1 t

Після підставляння в рівняння дістанемо
e 2t 2t
(1 t ) e . 0
1 t
У випадку дослідження диференціальних рівнянь
першого порядку корисними можуть бути геометричні
тлумачення рівняння (1.8) та його розв"язків.