Page 15 - Лекція 1

Зазначимо, що графік розв"язку ДР називають
інтегральною кривою. В кожній точці така крива має дотичну.
З іншого боку, рівняння (1.7) кожній точці M(õ,y) області
визначення D функції f(õ,y) ñòàâèòü ó â³äïîâ³äí³ñòü ïåâíå çíà÷åííÿ
y'=tg , тобто дає певне значення кутового коефіцієнта
дотичної. Сукупність трійок õ, у і f(õ,y) утворює так зване
поле напрямів. Графічно його можна зобразити, накресливши
у відповідних точках області визначення D функції f(õ,y)
ñòð³ëêè, ùî óòâîðþþòü ç â³ñсþ ÎX êóòè, òàíãåíñè ÿêèõ äîð³âíþþòü
çíà÷åííÿì ôóíêö³¿ f(õ,y) у цих точках. Крива, яка в кожній своїй
точці дотика’ться до однієї з стрілок, що належать полю
напрямів, є інтегральною кривою.
Крива, в кожній точці якої напрям поля однаковий,
називається ізокліною. Так для рівняння (1.8) це крива
визначається рівнянням f(õ,y) = C.
Отже, з геометричної точки зору, розв"язати ДР (1.8)
означає знайти криву лінію (інтегральну криву) y = (õ), яка
має в кожній точці М(õ,у) дотичну з кутовим коефіцієнтом,
що збігається з напрямом поля, яке визначає рівняння (1.8),
тобто дорівнює значення f(õ,y) у цій точці.
Щоб засвоїти означені вище поняття, розглянемо
приклад: для рівняння у'=õ(у-2) побудуємо поле напрямів,
ізокліну і, користуючись цим, зобразимо інтегральні криві
рівняння.
Результати дослідження зобразимо на рис.2
(штриховкою зображені ізокліни (прямі õ=0, õ=2 та
гіперболи), стрілками – поле напрямів, суцільною лінією –
одна з інтегральних кривих). Звернемо увагу, що рівняння має
цілу сім"ю розв"язків. Рівняння ізоклін цього ДР мають
вигляд õ(у-2)=С, тобто ізоклінами є прямі õ=0, у=2 і гіперболи
C
y 2. В точках кожної з ізоклін треба побудувати
x