Page 10 - Лекція 1

Згідно з умовою задачі сила F пропорційна швидкості v і
2
спрямована проти руху , тому F = -kv , де k>0. Оскільки
2
v x t( ) , то F 2 kx t( ).
Результуюча сила F , під дією якої точка М рухається,
дорівнює сумі F і F , тобто
1
2
F =F +F =F 1 kx t( ) (1.3)
2
1
Згідно з другим Законом Ньютона сила F , що діє на
матеріальну точку з масою m , визначається формулою
F= m a. (1.4)
Оскільки при русі по прямій прискорення - це друга похідна
від координати , то
F ma m x t( ) (1.5)
З рівностей (1.3) і (1.5) випливає рівняння руху точки М
mx t( ) F 1 kx t( ) (1.6)
Рівняння (1.6) пов’язує першу і другу похідні невідомої
функції x(t) і сталу F 1 , тому є ДР другого порядку. Воно і є
математичною моделлю руху точки.
Розглянуті приклади показують, що ДР є досить зручним
математичним апаратом для розв’язання багатьох непростих
практичних задач. У різних областях людської діяльності
виникає велика кількість задач, зміст яких приводить нас до
складання рівнянь типу (1.1) - (1.3). Кажуть, що вони (задачі)
звелись до ДР. Характер цих задач можна схематично описати
так : відбувається деякий процес (біологічний , фізичний ,
хімічний і т.п.) Нас цікавить певна функціональна
характеристика цього процесу, наприклад, закон зміни з часом
маси, температури, чи якоїсь іншої величини. Якщо є повна
інформація про перебіг процесу , то можна спробувати
побудувати його математичну модель (змоделювати процес).
Такою моделлю і є ДР , а його розв’язки - це функціональна