Page 106 - Лекція 1

Задача. Описати залежність між кількістю особин в
популяції, які народжуються і які вмирають за одиницю часу,
від числа особин популяції в момент часу t.
Нехай x(t)- число особин у популяції в момент часу t.
Тоді, якщо А- число особин, які народжуються, а В- число
особин, що вмирають за одиницю часу, то можемо
стверджувати, що швидкість зміни x з часом задається
рівністю
dx
A B. (6.15)
dt

Найпростішим є випадок, коли A=ax , B=bx, де a,b -
коефіцієнти народження і смерті особин за одиницю часу
відповідно. Тому ДР (6.15) можемо записати так

dx
( a b x) (6.16)
dt

Вважаючи, що в момент часу t=t 0 особин у популяції є
x = x 0, з рівняння (6.16) знаходимо

x t( ) x e ( a b t t)( 0 ) (6.17)
0

З одержаної рівності (6.17) випливає, що коли a>b, то
при t число особин x . З іншого боку, якщо a<b,
то x 0 при t і популяція вимирає.
Хоч наведена модель є спрощеною, та все таки в ряді
випадків вона відповідає дійсності.
Практично всі моделі, які описують реальні явища і
процеси, є нелінійними, і замість ДР (6.16) треба розглядати