Page 103 - Лекція 1

x
y py qy f ( ), (6.13)
2
то сума y + y є частинним розв’язком рівняння
1
2

y py qy f x( ) f ( ) (6.14)
x
1
2

Доведення.
Підставимо в ліву частину рівняння (6.13) суму y + y .
2
1
На основі (6.12) і (6.13) дістанемо

(y 1 y 2 ) ( p y 1 y 2 ) ( q y 1 y 2 )

(y 1 py 1 qy 1 ) (y 2 py 2 qy 2 ) f 1 ( )x f 2 ( ).x

Отже, y + y є розв’язком рівняння (6.14).
1
2

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння:

y 2 y y sin x e x
2
Характеристичне рівняння k -2k+1=0 має корені
k 1 = k 2 = 1, тому загальним розв’язком відповідного одно-
x
рідного рівняння є y С e x С xe x e С( 1 С x).
2
1
1
Оскільки права частина рівняння є сумою двох функцій sin x
і e x , то, згідно з теоремою, частинний розв’язок даного
рівняння можна шукати у вигляді
y y 1 y ,
2
де y -частинний розв’язок рівняння y 2 y y sin x,
1
а y - частинний розв’язок рівняння y 2 y y e x .
2