Page 26 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

5 . 0
1 cos x dx .
x 2
0
Розвинемо підінтегральну функцію в степеневий ряд
1 cosx 1 1 1 x 2 x 4 ... ( ) 1 n 1 x 2n ...
x 2 x 2 ! 2 ! 4 2 ( n )!

1 x 2 ... ( ) 1 n 1 x 2n 2 ...

! 2 ! 4 2 ( n )!
Тоді
5 . 0 5 . 0 2 2n 2
1 cosx dx 1 x ... ( ) 1 n 1 x ... dx
x 2 ! 2 ! 4 2 ( n )!
0 0
1 x 5 . 0 1 x 3 5 . 0 ... ( ) 1 n 1 1 x 2n 1 5 . 0 ...
! 2 0 3 ! 4 0 2 ( n 1 )( 2n )! 0

Або
5 . 0 3 2n 1
1 cosx dx 5 . 0 5 . 0 ... ( ) 1 n 1 5 . 0 ...
x 2 ! 2 3 ! 4 2 ( n 1 )( 2n )!
0
Задача звелась до того, щоб знайти з заданою точністю
суму числового ряду, який стоїть в правій частині останньої
рівності. Цей ряд, очевидно, задовольняє умови теореми
Лейбніца. Отже, похибка, яка одержується при відкиданні всіх
членів ряду, починаючи з n-го, буде за абсолютною

величиною менша n-го члена.
Зауважимо, що k-й член ряду
0.5 2k 1
a k ( 1) k 1
(2k 1)(2 )!k
2
0.5 (2k 3) ( 1) k 2 0.5 2k 3
(2k 1)(2k 1)2k (2k 3)(2(k 1))!
(2k 3) 0.5 2 a .
(2k 1) 2 2k k 1

25