Page 21 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

Лабораторна робота №4
Чисельне розв’язування диференціальних рівнянь

Диференціальні рівняння лежать в основі багатьох
математичних моделей, що описують процеси, які
відбуваються в природі, техніці, економіці і т. д. Серед
прикладних задач важливе місце займає задача Коші, яка
полягає в тому, щоб знайти частинний розв’язок y y (x )
звичайного диференціального рівняння першого порядку
y f (x , ) y (4.1)
який задовольняв би задану початкову умову
(xy 0 ) y (4.2)
0
Із загальної теорії диференціальних рівнянь відомо, що
коли в деякій області площини, яка містить точку (x , 0 y 0 ) ,
функція f (x , ) y неперервна і має неперервну частинну
f
похідну , то в деякому околі точки x існує єдина функція
0
y
y y (x ) , яка є розв’язком рівняння (4.1) і задовольняє
початкову умову (4.2) . Але одержати точний розв’язок задачі
Коші на практиці вдається дуже рідко. Тому доводиться
користуватись різними наближеними методами. Найчастіше
застосовується чисельні методи, коли шуканий розв’язок
одержується в табличному виді.
Найбільш простим із всіх методів чисельного
розв’язування задачі Коші є метод Ейлера (або метод
ламаних). При відшуканні чисельного розв’язку задачі (4.1),
(4.2) відрізок [x 0 , x 0 ] a розбивають на n рівних частин,

a
довжина яких h називається кроком інтегрування.
n
Наближені значення шуканої функції y y (x ) шукаються в

точках поділу x , x , x 2 x 1 h ,…, x n x n 1 h x 0 a .
1
0
Геометрично метод Ейлера полягає в тому, що на
малому відрізку [ xx , ] h інтегральна крива y y (x )
диференціального рівняння заміняється відрізком дотичної в

20