Page 95 - 14

98
1

де D оператор зворотнього перетворення Лапласа
Обчислення функції (y kT ) можна здійснити і за формулою обернення Z- перетворення.
dz dz
Для цього у виразі (5.11) зробимо заміну z  e pT . Тоді dz  Te pT dp . Звідси dp   .
Te pT Tz
Отже, маємо
1
( y kT )   z ) z ( Y k 1 dz , (5.12)
2 j
c
c
де інтегрування здійснюється вздовж кола радіуса e , де c   , в додатньому напрямку.
c
Формула (5.12) незручна для безпосереднього обчислення вихідної ординати y ( kT )
об’єкта.
Беручи до уваги, що функція Y ) z ( , аналітична поза колом c і на самому колі, для
обчислення інтегралу (5.12) можна скористатися теоремою про лишки, у відповідності з якою
m
( y kT )   Re s  (Y z ) z k 1  (5.13)
i 1 z i z
де m - кількість полюсів функції (Y z ) z k  1 , включаючи і кратні
z - полюси функції (Y z ) z k 1 , які лежать всередині кола c .
i
Нехай кратність полюса z дорівнює r . Тоді для полюса, який має кратність r  1 (простий
i
полюс)
Re s  (Y z ) z k 1  z  lim z (  z i z ) z ( Y ) k 1 (5.14)
z z i
z i
а для r  1 r 1
Re s  (Y z ) z k 1  z  1 lim d  z(  z i ) r z ) z ( Y k 1  (5.15)
r (  1 )! z z dz r 1
z i
i

d  z
Приклад 5.2. Для об’єкта з передавальною функцією W ) z (  d ( 5 , 1  ) 1 2
2
z  1 (  d ) dz  d 3
(див. приклад 5.1) знайти (y kT ), якщо (u kT )  ( 1 kT ) і початкові умови нульові.
За визначенням передавальної функції
) z ( Y
W ) z (  .
U ) z (
Звідси знаходимо, що
) z ( Y  W U ) z ( ) z (
Оскільки (u kT )  ( 1 kT ), то (див. табл. 3.1)
z
U ) z ( 
z  1
Враховуючи останній результат і значення дискретної передавальної функції W(z),
отримуємо
d  z
2
) z ( Y  ( 5 , 1 d  ) 1 z .
2
z (  ) 1 z  1 (  d d )  z  d 3 
Для знаходження (y kT ), k  2 , 1 , 0 ,... скористаємось формулою (5.13). Спочатку обчислимо
полюси функції (Y ) z , розв’язавши рівняння
2
z (  1 )( z  1 (  d d )  z  d 3 )  0
Маємо z  ; 1 z  ; d z  d 2 .
1 2 3
Отже,