Page 90 - 14

93
Оскільки математична модель об’єкта має формулу диференціального рівняння, то
доцільно спочатку знайти його перехідну характеристику. Для цього розв’яжемо математичну
модель об’єкта при   1tu   t . В даному випадку   hty   t . Отже,
d 2 h  t dh  t
 5 , 2  h   1t   t .
dt 2 dt
Маємо неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, розв’язок якого
h   ht  В   ht  ВМ  t ,
де  th В -повний розв’язок однорідного рівняння;
h  t -частковий розв’язок неоднорідного диференціального рівняння.
ВМ
Знайдемо  th , розв’язавши рівняння
В
d 2 h  t dh  t
В  5 , 2 В  h   0t  .
dt 2 dt В
Функцію  th В будемо шукати у такому вигляді
P
t 2
h   Ct  e P t 1  C e ,
В 1 2
де p і p – корені характеристичного рівняння
1 2
2
p  5 , 2 p  1  0 .
Для нашого випадку p   ; 5 , 0 p   2. З врахуванням значень p і p маємо
1 2 1 2
h В   Ct  1 e  t 5 , 0  C 2 e  t 2 .
Частковий розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді: h   1t   t . Знаючи  th
ВМ В
і h  t , знайдемо
ВМ
h   Ct  1 e  t 5 , 0  C 2 e  t 2  1.
Тут ми прийняли до уваги, що   1t1  при t  . Постійні інтегрування C і C знайдемо із
0
2
1
умови   00h  і   00h  . Маємо
C  C  1  , 0 0 5 , C  2 C  . 0
1
2
2
1
4 1
Iз отриманої системи рівнянь знаходимо, що C   , C  .
2
1
3 3
Таким чином, перехідна характеристика об’єкта буде такою:
1
h  t   4 e  t 5 , 0  e  t 2   3 .
3
Для знаходження вагової функції об’єкта скористаємося формулою (4.88), у відповідності з
якою
2  t 5 , 0  t 2
w  t  e  e .
3

Приклад 4.17. Математична модель об’єкта подана у вигляді передавальної функції
1
W  p  .
2
p  5 , 2 p  1
Знайти його часові характеристики. Спочатку знайдемо вагову функцію об’єкта  tw . Для
2
цього визначимо полюси функції  pW . Маємо p  5 , 2 p  1  0 . Звідси p   ; 5 , 0 p   2 .
1
2
Отже,
e t P i e t P i 2  t 5 , 0  t 2
w  t  lim  lim  e  e .
P  5 , 0 p  2 P  2 p  5 , 0 3
Виходячи із формули (4.87), обчислимо