Page 85 - 14

88
p  4 pt p  4 pt  t 2  t 3
 11  t  lim p   2 e  lim p   3 e  e 2  e .
2
2
p  2 p  5 p  6 p  3 p  5 p  6
 e pt e pt   t 2  t 3
 12   2t    lim p   2 2  lim p   3 2    2 e  e .
 p  2 p  5 p  6 p  3 p  5 p  6 
Аналогічно знаходимо, що
  t   e  t 2  e  t 3 ,   t   e  t 2  e 2  t 3 .
21 22
Таким чином,
 e2  t2 e  t3 2 e  t2 e  t3 
e At    t2  t3  t2  t3  .
  e  e e  e2 
Як і слід було б сподіватись, всі три методи знаходження фундаментальних матриць  t
дали однаковий результат.

Приклад 4.15. Математична модель об’єкта має такий вигляд:
dx
1   x  2 x  u 5 , 0  u ,
dt 1 2 1 2
dx
2   x  4 x  u 2  u ,
dt 1 2 1 2
x   xt    0t  , t  .
0
1 0 2 0 0
Знайти її розв’язок, якщо u  u   t 1 .
2
1
Подамо математичну модель об’єкта у векторно-матричній формі
d x  0
0
 A x  B u ,  tx 0  x , t  ,
0
dt
де
u
x
1 2   5,0  1  1   1 
A    , B    , x   , u   .
x
u
 1  4   2 1   2   2 
 0
Тоді  tx обчислимо за формулою (4.68), в якій x  0 і t  , тобто
0
0
t
x    et  A  t   uB    d .
0
Фундаментальну матрицю  t ми обчислили раніше (див. приклад 4.12 – 4.14). Тому

 11 t    12 t   0  5 , 1 u  1  

A
t 
e  B u          
  21 t    22 t    2 1   u 2   

  5,0  11 t   2 12 t     u    11 t    12 t    u  
1
2
   .
  5,0  21 t   2 22 t     u    21 t    22 t    u  
2
1
Якщо врахувати значення   t  , j,i  2 , 1 і те, що   uu     1 при 0    , то
ij 1 2
t
x 1    5,1t   e6 2  t   e5 3  t   d .
0
Аналіз останнього співвідношення показує, що для обчислення інтеграла від виразу, який
t
знаходиться в дужках необхідно знайти e a  t  d . Зробимо заміну  tv   . Тоді d   dv і

0
t  t 1
at
 e a t  d   e av dv  e 
 1
0 0 a
Отже,