Page 87 - 14

90
Очевидно, що площа такого імпульсу повинна бути рівна одиниці. Звідси випливає, що
ширина імпульсу (див.формулу (4.78)) дорівнює  .
Таким чином, біжуче значення ординати (в дискретні моменти часу k  ) можна записати
так:

u   t  u  k     t k     . (4.79)
k  
Виразу (4.78) можна дати таку фізичну інтерпретацію. Допустимо, що  tu електричний
струм, значення якого ми вимірюємо безінерційним амперметром.
Стрілка амперметра завжди знаходиться на нульовій позначці крім моментів часу  kt   .
В ці моменти часу стрілка миттєво переміщається до відмітки  ku   .
Знайдемо граничне значення суми при   0 .
При цьому,   t k      t   ,  ku   u   , а сума замінюється інтегралом:

  tu  u     t   d . (4.80)
 
У формулі (4.80) (), як це випливає із співвідношення (4.78),  -функція, яка визначається
наступним чином:
 при   ,0



   (4.81)
 0 при   0


і   d  1, де  0 – нескінченно мала величина.
 
Формула (4.80) виражає так звані стробуючі властивості  -функції.
У відповідності з формулою (4.79) вхідний сигнал апроксимується сумою одиноких
миттєвих імпульсів. Реакцію об’єкта y   t в момент часу  kt   на такий імпульс позначимо
k
через   ktw    (u k    )  .
Тобто, щоб одержати вихідний сигнал об’єкта, як реакцію на одинокий імпульс  ku   ,
його необхідно помножити на деякий “ваговий коефіцієнт”   ktw     . Звідси і назва функції
w  t – вагова функція об’єкта.
У відповідності з принципом суперпозиції

y   t  y k   t .
k  
Оскільки    wty   kt    (u k    )  , то
k

y   t  w   kt    (u k    ) .
k  
Переходячи до граничного значення суми, коли   0 , отримуємо

   wty   t    d)(u  . (4.82)
 
Аналогічно можна показати, що

   wty    (u t    d ) . (4.83)
 
Для реальних об’єктів, як правило, виконується умова tw    0 при t . Тому
t 

  wty    (u t    d )  w  t    d)(u . (4.84)
   
У тих випадках, коли зовнішня дія прикладається до об’єкта, який знаходиться в
усталеному режимі, нижню границю інтегрування у виразі (4.84) можна взяти нульовою. Тоді