Page 89 - 14

92
n
Матрична перехідна характеристика об’єкта H  t – це матриця H  t розміром k  ,
елементи якої  th перехідні характеристики i–го виходу по відношенню до j–того входу.
ij
Між функціями w  t і h  t існує взаємозв’язок, який визначається співвідношеннями
ij ij
(4.89) і (4.90). Виходячи із правил диференціювання і інтегрування матриць, можна стверджувати,
що
t
   WtH     d (4.92)
0
і
dH  t
 tW  . (4.93)
dt
Знайдемо тепер взаємозв’язок між передавальною і перехідною функціями об’єкта, який
має один вхід і один вихід. Для цього перетворимо за Лапласом рівняння (4.84). Оскільки в
загальному вигляді верхня межа інтегрування дорівнює нескінченності, то у відповідності з
табл.4.1 (7-ий рядок)
Y  P  L w   uLt    Wt     pUp  .
Оскільки L    1t  , то при дії на об’єкт збурення у вигляді  -функції будемо
мати   WpY    Lp     Wt   p .Звідси видно, що передавальну функцію об’єкта можна визначити
як перетворення Лапласа від його вагової функції
 pW  L w  t . (4.94)
З іншого боку
 tw  L  1 W  p . (4.95)
Анологічні співвідношення можна записати і для матричних функцій  pW i  tW
 pW  L W  t , (4.96)
 tW  L  1 W  p . (4.97)
Для одновимірного об’єкта, у відповідності з формулою (4.9) можна записати, що
k
Pt
e
P
  tw  Re s  W    P P i , (4.98)
i 1
де p – полюси передавальної функції;
i
k- кількість полюсів, включаючи і кратні.
Нехай r кратність кореня p . Тоді для r=1
i
Pt
p
e
Re s  W     lim p  p   epW p t i , (4.99)
p p i i
p p 1
а для r>1
Pt
p
r
e
Re s  W    P  1 lim d r 1   p  p i  W   . (4.100)
p
e
p
t i
r  1  P !  P 1 dp r 1
P i
Для багатовимірних об’єктів формули (4.98) - (4.100) необхідно застосувати до
кожного елементу матриці W(p). В результаті отримаємо w  t , де  tw - елементи
ij ij
матриці W(t).

Приклад 4.16 Лінеаризована математична модель об’єкта має вигляд диференціального
рівняння
d 2 y dy
 5 , 2  y  u .
dt 2 dt
Знайти його часові характеристики.