Page 84 - 14

87
Як випливає із формули (4.62) розв’язок рівняння (4.61) буде таким:
 0
 tx    xt . (4.73)
Співставляючи рівняння (4.72) і (4.73), приходимо до висновку, що

1
  et  At  L  1   Ip  A  , (4.74)
Тобто фундаментальна матриця обчислюється, як зворотнє перетворення Лапласа від
матриці Ip   A  1 .
Якщо   p , ,i j  n , 1 елементи матриці Ip   A  1 , то зворотнє перетворення Лапласа від
ij
матриці Ip   A  1 обчислюється як зворотнє перетворення Лапласа від всіх її елементів, тобто має
місце співвідношення
t
 11   t 12   ...t  1 n  
 
 Ip  A     21   t 22   ...t  2 n   t  , (4.75)
1
1
L
 ... ... ... ... 
 
  n 1   t n 2   ...t  nn   t 
де   t  L  1   , j,i  n , 1 .
p
ij ij
Елементи  ij  t фундаментальної матриці  t можна обчислити, використавши теорему
про лишки
 ij  t   Re  s  ij   ep pt , ,i j  n , 1 .
к p к p
де p – корені визначника  p матриці Ip  A.
K
Для простих коренів p маємо
K
pt
 s
e
p
Re      lim p  p    ep pt , (4.76)
ij p p к p p к к ij
а для кратних коренів р r кратності 

pt
pt
e
e
Re      1 lim d   1   p  p     . (4.77)
p
p
 s
ij p p r 1   p !  p dp   1 r ij
r

At
Приклад 4.14. Шляхом використання зворотнього перетворення Лапласа обчислити e ,
де
1 2 
A    .
 1  4 
Знайдемо матрицю
 1p  2 
Ip  A   
 1 p  4 
і обернену до неї матрицю
1   4p 2 
1
Ip  A     ,
  p  1 p 1 
де
2
  p  p  5 p  6 .
Оскільки p   2, p   3 то
1 2
 11   t 12  
t
e At    .
  21   t 22  t 
Обчислимо   t  , j,i  2 , 1 , використавши формулу (4.76)
ij