Page 83 - 14

86
P
а) знайти характеристичне рівняння     I  A та розв’язати його;
б) визначити коефіцієнти a a , , ... a , матричного полінома
0 1 n 1
2
R  A  a I  a A  a A  ...  a A n 1
0 1 2 n 1
із системи рівнянь
e t i   a  a  i  a  2 i  ...  a  n 1 , i  n , 1
1
n
2
0
1
i
для того випадку, коли характеристичні числа  , i  n , 1 різні. Для випадку, коли серед коренів
i
характеристичного полінома  P є корінь кратності s, коефіцієнти a 0 a , 1 , ... a , n 1 обчислюються із
системи рівнянь
e t i   a  a  i  a  2 i  ...  a  n 1 , i  n , 1  s  1
1
0
2
n
1
i
d к  e t  dR  
 , к  s , 1 ,
d к d к   r 
де   aR    a   a  2  ...  a  n 1 .
0 1 2 n 1
в) обчислити
2
e At  a 0 I  a 1 A  a 2 A  ...  a n 1 A n 1 .
1 2 
At
Приклад 4.13. Обчислити e , де A    , використавши метод Келі – Гамільтона.
 1  4 
Знаходимо  P   I  A   2  5  6 . Відповідно    2;    3 . Так як матриця А має
1 2
розмір 2 х 2, то
e At  a 0 I  a 1 A.
Для знаходження коефіцієнтів a і a складаємо систему рівнянь
0 1
e t 1   a  a  , e t 2   a  a  ,
1
0
1
0
2
2
із якої знаходимо
 e t 1    e  t 2 e  t 2  e t 1 
a  2 1 , a  .
0
1
     
2 1 2 1
З врахуванням значень  і  маємо
1 2
a  e 3  t 2  e 2  t 3 , a  e  t 2  e  t 3 .
0
1
Таким чином,
1  0  1 2 
e At   e3  t 2  e 2  t 3     e  t 2  e  t 3    
 0 1    1  4 

 e 2  t 2  e  t 3 2 e  t 2  e  t 3 
   t 2  t 3  t 2  t 3  .
  e  e  e  e 2 

Метод зворотнього перетворення Лапласа. Однорідне матричне рівняння (4.61) з
 0
початковими умовами x  t 0  x перетворимо за Лапласом. В результаті отримуємо
співвідношення
 0
p X   xp   A X  p ,
із якого знаходимо
 0
1

  IppX   A  x . (4.71)
Із рівняння (4.71) знаходимо, що
 0

1
 tx  L  1   Ip  A  x , (4.72)
-1
де L – оператор зворотнього перетворення Лапласа.