Page 82 - 14

85
t

) t ( x  e t ( A t 0 ) x ( 0 )  e  t ( A  )  uB (  d) . (4.68)
t 0
Таким чином, співвідношення (4.68) визначає розв’язок матричного рівняння (4.59) з
початковими умовами (4.60).

4.3.10 Методи обчислення фундаментальної матриці
із формули (4.68) випливає, що розв’язок рівняння (4.59) зводиться до знаходження
матричної експоненціальної функції exp (At).
Можна назвати три способи обчислення матричної функції exp (At) – приведення матриці А
до діагонального вигляду; з використанням методу Келі – Гамільтона і на основі зворотнього
перетворення Лапласа.

Приведення матриці А до діагонального вигляду.
Нехай М модальна матриця до матриці А. Тоді із рівняння (4.30) випливає, що
1

n
A  M n M , n  , 2 , 1 .....
Оскільки
 At 2  At 3
e At  I  At    ..., (4.69)
! 2 ! 3
то
t 2 t 3
e At  MIM  1  M M  1 t  M 2 M  1  M 3 M  1  ...
! 2 ! 3

  t 2  t 3 
 M I    t    ...  M  1 .
 ! 2 ! 3 
 
Якщо врахувати рівняння (4.69), то можемо записати

1
e At  Me t  M . (4.70)
Неважко переконатись, що
e  t 1 0 ...  0
  t 2 
 0 e ... 0 
e t   .. . . . . . .  . . ,
 0 0 ... e  t n 
 
   
де  1 ,  2 , ... ,  – характеристичні числа А.
n
1 2 
At
Приклад 4.12. Обчислити e , де A    шляхом приведення матриці А до
 1  4 
діагонального виду.
Модальна матриця М до матриці А (див. приклад 4.4) буде такою:
 2 1 
M    ,
 1 1 
а характеристичні числа  1=-2,  2=-3. У відповідності з формулою (4.70)
 2 1  e  t2 0  1   1  e2  t2  e  t3 2 e  t2  e  t3 
e At        t3        t2  t3  t2  t3  .
 1 1   0 e   1 2    e  e e  e2 

Метод Келі – Гамільтона. В цьому випадку обчислення exp (At) принципово нічим не
відрізняється від обчислення exp (A). Зміну t слід розглядати як параметр і exp (At) обчислюється
за таким алгоритмом: