Page 81 - 14

84
У рівнянні (4.62) матрицю   et  At називають фундаментальною матрицею, яка є одним
із можливих розв’язків диференціального рівняння (4.61).
Для знаходження часткового розв’язку х  t скористаємося методом варіації параметрів.
P
Це означає, що розв’язок  tх будемо шукати у вигляді:
P
 tх P      tкt  . (4.64)
Продиференціювавши рівняння (4.64) за змінною t, одержимо
d х d  t d к  t
P  к   t     t . (4.65)
dt dt dt
d х
Підставимо значення х P  t і P , які визначаються співвідношеннями (4.64) і (4.65), у
dt
рівняння (4.59), маємо
d  t d к  t
к   t     t  A     Btкt  u   t
dt dt
або
d    t  d к  t
  A    tкt     t  B u  t .
 dt  dt
Оскільки  t один із можливих розв’язків однорідного матричного рівняння (4.61), то
вираз, що знаходиться в квадратних дужках, це нульова матриця. Тому
d к  t
  t  B u  t .
dt
Звідси знаходимо
d к  t  1
    Bt  u  t .
dt
Із останнього рівняння випливає, що
t
к   t   1   B u    d .
t 0
Підставляючи значення  tх в рівняння (4.64), знаходимо, що
t
  tx   t  1   B u    d . (4.66)
P
t 0
Після підстановки значень   tх З і  tх P , які визначаються співвідношеннями (4.62) і (4.66),
в рівняння (4.63), отримуємо
t
x   t   сt    t  1   B u    d .
t 0
Постійну інтегрування с знаходимо із початкових умов (4.60):
 0
с    1  xt 0 .
Отже, розв’язок рівняння (4.59) з початковими умовами (4.59) буде мати такий вигляд:
t
x   t   t 1  xt  0     t  1   B u    d .
0
t 0
Враховуючи комутативність множення матриць  t і   1  t (або  1   ), отримуємо
0
t
 0
  tx  tt x     t   uB    d . (4.67)
0
t 0
З врахуванням того факту, що   et  At рівняння (4.67), запишемо в іншому вигляді