Page 79 - 14

82
dF   dR  

d d   1 

В нашому випадку   F e і   R a  a . Тому
0 1
1 
e  a .
1
З врахуванням того, що   eF   1  , маємо
1
1 
e  a  a  .
0 1 1
Якщо враховувати значення a , то
1
a  e 1  1  .
0 1
Для значення  1   2 коефіцієнти будуть a і a такими:
1
0
2

a  e , a  e 3  2 .
1 0
Отриманий результат дає можливість обчислити
2   1
e A  e 2   .
 1 0 

4.3.8. Диференціювання та інтегрування матриць
Допустимо, що деяка матриця F(t) розміром n x m є функцією дійсного аргумента t (час). Це
означає, що всі елементи (або їх частина) матриці F(t) є функціями часу t  f  t , i  n , 1 , j  , 1 m.
ij
Якщо всі функції  tf ij мають неперервні похідні за змінною t, тоді під похідною розуміють
матрицю
dF  t
F  t   f ij  t  .
dt
Похідна від матриці має такі властивості:
dC
а)  0;
dt
де C – постійна матриця;
d
б) F   Gt    Ft     Gt   t  ;
dt
d d
в) CF   Ct  F  t  ; F   Ct  F  Ct  ;
dt dt
d
г) F     FtGt      FtGt      tGt  ,
dt
k
де (G ) t - матриця розміром m , елементи якої мають неперервні похідні за змінною t.
-1
Нехай F(t) – квадратна матриця n x n, а F (t) її обернена матриця. Тоді
F   Ft   1   It  .
Продиференціюємо останню рівність за змінною t

F   Ft   1   Ft    Ft   1  t  0 .
Із останнього рівняння знаходимо, що

F 1   t F    Ft 1   Ft 1  t .
Для збіжного нескінченого матричного ряду справедливе таке співвідношення:
d   '
 F i ) t (   F i ) t ( .
dt i 1 i 1
Операція інтегрування матриць визначається аналогічною операцією диференціювання