Page 77 - 14

80
 F R      1    2   ...  n   Q . (4.52)
З іншої сторони, якщо  – характеристичні числа матриці А, то характеристичний поліном
i
P   можна розкласти на прості множники
P      1    2  ...    n .
З врахуванням останнього результату, добуток        ...     в рівнянні
1 2 n
(4.52) замінимо на  P . Тоді
F   R    P     Q ,
або
  F P      Q R   . (4.53)
Бачимо, що отримана формула формально співпадає з (4.49), але в (4.53)  R
обчислюється як поліном Лагранжа.
У рівнянні (4.53) замінимо скалярну величину  на матрицю А. В результаті такої заміни
отримуємо матричне рівняння
F   PA      RAQA   A .
В силу теореми Келі – Гамільтона P(A) це нульова матриця і тому
  RAF   A , (4.54)
де
n
   IA  
n j
  RAF   A  F   i j  ,1 n j i . (4.55)
  i   j
i 1 
j  ,1 j i
Формула (4.55) носить назву формули Сильвестра.
У відповідності з формулою (4.55)  AF - це матричний поліном степені n-1
2
  aAF  I  a A a A  ...  a A n 1 . (4.56)
0 1 2 n 1
Обчислимо значення  F в точках   , i  n , 1 . Для цього використаємо формулу (4.53)
i
F   P     RQ     , i  n , 1 .
i i i i
Оскільки   0P   , то   PF    .

i i i
Згідно з виразом (4.51)  R – це поліном степені n-1, коефіцієнти якого співпадають з
коефіцієнтами a a , a , , ... a , матричного поліному (4.56). Тому маємо систему рівнянь
0 1 2 n 1
  aF  i  0  a  i  a  2 i  ...  a n 1  n 1 , i  n , 1 . (4.57)
1
2
i
із якої можна визначити невідомі коефіцієнти a a , a , , ... a , .
0 1 2 n 1
У тому випадку, коли один із коренів рівняння   0P   має кратність s, можна записати
тільки систему із n-s+1 рівнянь. Решта s-1 лінійних рівнянь знаходять шляхом диференціювання
рівняння   F R   s-1 раз:
d к F   d к R  
 , к  , 2 , 1 ... s ,  1, (4.58)
d к d к
  r 
де  – корінь кратності s.
r

1   2
A
Приклад 4.10. Використавши метод Келі –Гамільтона, обчислити e , якщо A    .
 1  4 
Обчислимо характеристичний поліном матриці А
P    I  A   2  5  6