Page 76 - 14

79
N   QA      RAPA   A .
Оскільки за теоремою Келі – Гамільтона Р(А) це нульова матриця, то
N   RA   A . (4.50)
Рівняння (4.50) виражає суть методу Келі – Гамільтона обчислення функцій від матриць.

Приклад 4.9. Знайти  AN із прикладу 4.7, використавши метод Келі –Гамільтона.
Утворимо скалярний поліном змінної :
N    4   3   2    1
і знайдемо характеристичний поліном матриці А:
P    2  3  2 .
Тоді
 4   3   2   1
  2  3   2
N    4  3  3  2  2
  2  2   5  Q  
P    2  3   2  

 2  3 6  2  4 
5  2  5  1
 2
5  15  10
R   10  9
Отже,  R    10  9 і відповідно  AR   10 A I 9 .
Використовуючи співвідношення (4.50), маємо
N  A   10 A I 9 .
Отриманий результат співпадає з значенням  AN , яке ми отримали в прикладі 4.8, де
обчислення матричного поліному  AN зроблено на основі теореми Келі – Гамільтона.
Розглянутий метод Келі – Гамільтона можна поширити і на той випадок, коли матрична
функція F(A) відмінна від матричного многочлена. Для цього необхідно, щоб функція  F була
аналітичною в околі початку координат. Тоді вона може бути подана у вигляді нескінченого ряду

i
F     a i  .
i 0
Нехай P   – характеристичний поліном матриці А, яка має розмір n, а  її
i
характеристичні числа. Допускаємо, що  , i  n , 1 різні.
i
Побудуємо поліном  R степені n-1, який в j–тих точках j   n , 1 співпадає зі значеннями

F   . Такими точками виберемо x , j  n , 1 . В курсі вищої алгебри доказано, що завжди існує
j
многочлен степені небільшої ніж n-1 і, який приймає наперед задані значення при n заданих
різних значеннях аргумента . Цей многочлен будують за допомогою, так званої, інтерполяційної
формули Лагранжа. Тобто
n
    
n j
R     F   i j  ,1 n j i . (4.51)
  i   j
i 1 
j  ,1 j i
В силу того, що  F  i  R   , i  n , 1 різниця функцій  F R   має нулі в точках  ,
i
i
i  n , 1 і її можна подати у такому вигляді:


Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Учебник. – М.: Наука, 1971 – 432с.