Page 75 - 14

78
1

Приклад 4.7. На основі теореми Келі – Гамільтона знайти обернену матрицю A до
матриці
 0 1 
A    .
  2  3 
Знайдемо характеристичний поліном матриці A
  1
P      2  3  2.
2   3
2
У відповідності з теоремою Калі – Гамільтона    0AP  і A  3 A  I 2   0 . Одержану рівність
1
1

1
1


множимо на A : A  I 3  2 A   0 . Звідси знаходимо A   A   I 3 . Враховуючи значення
2
матриці А, маємо
1   0 1  3   0 1  3  1
A 1                .
2    2  3   0 3   2   2 0 
На основі теореми Келі – Гамільтона можна понижувати многочлен від матриць, тобто
2
n-1
представити його у вигляді лінійної комбінації матриць І, А, А , … , А , де n – розмір
квадратної матриці А. Сказане проілюструємо прикладом.

 0 1 
4
3
2
Приклад 4.8. Знайти N  A  A  A  A  A  I , якщо A    . Оскільки розмір
  2  3 
матриці А дорівнює двом, то матричний поліном N(A) можна понизити до степені
n  n  1  2  1  1.
1
Характеристичне рівняння матриці А буде таким: I  A   2  3  2  0 . За теоремою Келі
2
2
– Гамільтон A  3 A  I 2   0 . Звідси A   3 A I 2 . В результаті маємо:
2
2
3
A  A  A   3  A I 2 A  3 A  2 A  3  3  A I 2  2  A 7 A I 6 ;
4
3
2
A  A  A   A7  I 6 A  7 A  6 A  7  3  A I 2  6 A  15 A 14 I .
Отже,
N  A   15 A  14 I  7 A  I 6  3 A  I 2  A  I   10 A  I 9 .
Таким чином, ми понизили многочлен N(A) до першої степені. Тепер N(A) обчислюється
4
2
3
значно простіше ніж його початкове значення A  A  A  A I . Якщо врахувати значення
матриці А, то
 0 10  9 0   9 10 
N  A         .
 20 30   0  9   20 21 

4.3.7 Обчислення функцій від матриць (метод Келі – Гамільтона)
Розглянемо матричний многочлен, степінь якого n вища за розмір n матриці
1
n
А:n  . Нехай  N – поліном скалярної змінної , який асоційований з поліномом N(A).
1
Розділивши  N на характеристичний поліном  P матриці А, одержуємо
N   R  
 Q   , (4.48)
P   P  
де  Q – ціла частина в частці;
R   – залишок в частці.
Із рівняння (4.48) знаходимо, що
  N Q     P R   . (4.49)
Перейдемо до матричного поліному  N шляхом заміни  в (4.49) на А