Page 74 - 14

77
exp   expA   A 
ch  A  .
2
Відмітимо, що дійсна матриця J розміром 2 x 2, яка є аналогом скалярної величини
0
j   1 , визначається як
0   1
J  ,
0  
 1 0 
2
3
4
так, що J  ; I  J   J 0 ; J  I і т.д.
0
0
0
Наприклад, якщо A  aJ , то
0
a 3 J a 5 J
sin aJ  aJ  0  0  ...  J sh a.
0 0 0
! 3 ! 5
Відповідно
cos aJ  J ch a .
0 0

4.3.6 Теорема Келі – Гамільтона
Розглянемо многочлен змінної
 N    n  C  n 1  ...  C   C , (4.45)
n
1
1
n
де – характеристичні числа квадратної матриці А;
n – розмір матриці A;
C , ... C , – постійні коефіцієнти.
1 n
Утворимо матричний поліном, замінивши в (4.45)  на A. Тоді
  AAN  n  C 1 A n 1  ...  C n 1 A IC . (4.46)
n
Із формули (4.29) випливає, що

1
A  M M . (4.47)
Замінивши в (4.46) матрицю A її значенням із (4.47), отримуємо
n n  1
A

N    M  M  1   C  M  M  1   ...  C M  M  1  M M  1 C .
1 n  1 n
В останньому рівнянні зроблена така заміна одиничної матриці I при коефіцієнті C n:
I  M  M  1 .
Із співвідношення (4.30) легко знайти, що
n

1
A  M n M .
Тому
N   MA   n  C  n 1  ...  C   C I M  1  MN  M  1 .
1 n 1 n
Оскільки  діагональна матриця з елементами  , , ... , на головній діагоналі, то
1 2 n
N   0 ...  0

1
 0 N   ... 0 
 2 
N     . . . . . . . . . . ,

 0 0 .... N   
 n 
 
де  N  i   n i  C  n 1  ...  C  i  C ;  ; i  n , 1 – характеристичні числа матриці.
n
i
1
i
n
1
Якщо вибраний многочлен є характеристичним N    P   , то
N    N   ...  N   0 . А це означає, що    0N   . Оскільки   NAP   A , то  AP також
1 2 n
нульова матриця.
Одержаний результат відомий як теорема Келі – Гамільтона. Суть якої в наступному:
матриця A задовольняє своєму власному характеристичному рівнянню.
Знання цієї теореми важливо для знаходження різних функцій від матриці A.