Page 73 - 14

76
При B = - A маємо
A
0
A
e  e  e A A  e  I . (4.35)
A
Нехай матриця e має обернену матрицю  e A  1 . Тоді
A
e   e A  1  I . (4.36)
Порівняння співвідношень (4.35) і (4.36) дає
A

 e A  1  e .
A

A
Отже, e – це матриця, яка обернена до матриці e .

Синусоїдальна і косинусоїдальна матричні функції.
Синусоїдальну матричну функцію можна визначити таким же способом, що і
експоненціальну матричну функцію оскільки
u 3 u 5  к u 2 к 1
sin u  u    ...    1 ,
! 3 ! 5 к 0  к2 1 !
то
 к A 2 к 1
sin A    1 . (4.37)
к 0  к2 1 !
Аналогічно (4.37) визначається і косинусоїдальна матрична функція
 к A 2 к
сos A    1 . (4.38)
к 0  !к2
У формулі (4.33) A замінимо на jA, де j – уявна одиниця. Тоді
jA A 2 A 3 A 4 A 5 A 2 A 4  A 3 A 5 
e jA  1    j   j  ...  1    ...  j  A   ...  .
! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 2 ! 4   ! 3 ! 5  
Якщо врахувати співвідношення (4.37) і (4.38), то останню рівність можна подати у такому
вигляді
e jA  cos A  j sin A . (4.39)
Формула (4.39) (формула Ейлера) дає можливість виразити синусоїдальну і
jA
косинусоїдальну матричні функції через e і e  jA . Якщо в формулі (4.39) A замінити на – A, то
e  jA  cos A j sin A. (4.40)
Додавши ліві і праві частини рівнянь (4.39) і (4.40), знаходимо
1
jA
cos A  e  e  jA . (4.41)
2
Якщо виконати операцію віднімання від (4.39) рівності (4.40), то отримаємо
1 jA  jA
sin A  e  e . (4.42)
j 2

Гіперболічні матричні синуси і косинуси визначаються через нескінчені матричні ряди
 A 2 к 1
sh A   , (4.43)
к 0  к2  1 !
 A 2 к
сh A   . (4.44)
к 0  !к2
Співвідношення (4.43) і (4.44) легко отримати, якщо скористатися визначеннями
гіперболічних матричних синусів і косинусів
exp   expA   A 
sh  A  ,
2