Page 72 - 14

75
Якщо скалярну змінну u замінити квадратною матрицею A розміром n x n, то одержимо
матричний многочлен
n
N   PA  A  P A n 1  ...  P A  P I ,
n n 1 1 0
де I – одинична матриця розміром n x n.
1  3
2
Приклад 4.6. Нехай N   3u  u  u  2 і A    . Визначити N(A).
 4 2 
1 3   1  3 13 9 
Знайдемо A 2         .
 4 2   4 2   12 16 
Тоді
13 9  1  3 1  0 42 30 
N   A3A 2  A  I2  3       2      .
 12 16   4 2   0 1   40 52 

Розглянемо нескінчений ряд скалярної змінної u

к
   auS  a u  a u 2  ...   a u . (4.31)
0 1 2 к
к 0
Якщо скалярний аргумент u нескінченого ряду (4.31) замінити квадратною матрицею A n-го
порядку, то отримаємо нескінчений матричний ряд:

к
   aAS 0 I  a 1 A  a 2 A 2  ...   a к A , (4.32)
к 0
0
де A  – одинична матриця.
I
Ми приймаємо без доказу таке твердження. Матричний ряд (4.32) сходиться, якщо
сходяться відповідні скалярні ряди

к
S    i  a к  , i  n , 1
i
к 0
де  – характеристичні числа матриці A.
i
За допомогою нескінчених рядів матриць можна ввести поняття таких матричних функцій –
e A e ,  A , sin , A cos , A shA , chA і інших.

Експоненціальні матричні функції.
u
Відомо, що функцію e можна подати у вигляді нескінченого ряду
u u 2  u к
e u  1    ...   .
! 1 ! 2 к 0 !к
Якщо A квадратна матриця n-го порядку, то
 A к
e A   (4.33)
к 0 !к
i
A  к A к
e A  I  A   ...    1 . (4.34)
! 2 к 0 ! к
u
v
Відомо, що множення скалярних функцій e і e – комутативно:
u
u
v
v
e  e  e  e  e u v ,
B
A
A
B
але відповідний добуток матриць e  e можна подати у вигляді e  e тільки в тому випадку,
коли матриці A і B комутативні. Тому рівність
A
B
B
A
e  e  e  e  e A B
B
B
A
A
має місце тільки в тому випадку, коли AB=BA. В загальному випадку e  e  e  e  e A B .
Зрозуміло, що умова комутативності виконується, якщо B = -A .