Page 71 - 14

74
4.3.4 Приведення квадратної матриці А до діагонального вигляду
-1
Допустимо, що для матриці М існує обернена матриця М .
Рівняння (4.26) перепишемо наступним чином:
 u i  A u i  0 , i  n , 1
i
або в розгорнутому вигляді
 u i 1  a 11 a 12 ... a 1 n  u i 1 
i
  u   a a ... a   u 
 i i 2    21 22 2 n    i 2  , i  n , 1 . (4.27)
 ...   ... ... ... ...   ... 
     
a
u
  u ni   n 1 a n 2 ... a nn   ni 
i
одержану систему рівнянь (4.27) можна об’єднати, утворивши єдине матричне рівняння
 u 11  u 12 ...  u 1 м  a 11 a 12 ... a 1 n  u 11 u 12 ... u 1 м 
2
n
1
  u  u ...  u   a a ... a   u u ... u 
 1 21 2 22 n 2 n    21 22 2 n    21 22 2 n  .
 ... ... ... ...   ... ... ... ...   ... ... ... ... 
     
a
u
  u n 1  u n 2 ...  u nn   n 1 a n 2 ... a nn   n 1 u n 2 ... u nn 
2
n
1
За визначенням, матриця утворена із векторів u , i  n , 1 є модальною матрицею, типу
i
M  AM  0 , (4.28)
 1 0 0 ...  0
 
 0  2 0 ... 0 
де   . . . . . . . . . . – діагональна матриця, яка складена із характеристичних чисел


 0 0 0 ...  
 n 
 
матриці А.
-1
За допущенням матриця М має обернену матрицю М . Це дає можливість рівняння (4.28)
-1
розв’язати відносно матриці  , помноживши (4.28) зліва на матрицю М
  M  1 AM . (4.29)
Таким чином, за допомогою модальної матриці М можна здійснити діагоналізацію
квадратної матриці А.
Більш високі степені А приводяться до діагонального вигляду наступним чином:
 2      M  1 AM  M  1 AM  M  1 AMM  1 AM .
Оскільки M  1 M  I , то  2  M  1 A 2 M .
Аналогічно
 3   2    M  1 A 2 M  M  1 AM  M  1 A 2 MM  1 AM  M  1 A 3 M .
Очевидно, що
 n  M  1 A n M . (4.30)

Приклад 4.5. Матрицю А із прикладу 4.4 привести до діагонального вигляду.
 2 1  1   1
Оскільки М    , то М 1     .
 1 1   1 2 
Використовуючи формулу (4.29), знаходимо
1   1 1 2   2 1   2 0 
            .
 1 2   1  4   1 1   0  3 

4.3.5 Матричні многочлени та нескінчені ряди. Розглянемо многочлен n-го порядку,
аргументом якого виступає скалярна змінна u
n
N   Pu  u  P u n 1  ...  P u  P .
n n 1 1 0