Page 70 - 14

73
4.3.3 Модальна матриця. Допустимо, що в характеристичному рівнянні   0P   корені
 , i  n , 1 різні. Тоді кожному кореневі  можна у відповідність поставити вектор u , так що
i
i i
буде виконуватись умова
0
 I  A u i  , i  n , 1 . (4.26)
i
Ми одержали систему рівнянь, яку можна розглядати відносно векторів u . Тоді вектори u
i
i
будуть розв’язком системи рівнянь (4.26). Так як рівняння (4.26) однорідне, то і вектори uк також
i
будуть розв’язком системи рівнянь (4.26). Матриця, утворена вектор- стовпцями u (або uк ),
i
i
називається модальною матрицею.

Алгоритм розрахунку модальної матриці
1) Знаходимо корені  , i  n , 1 (характеристичні числа) рівняння   0P   .
i
1
2) Визначаємо приєднанy матрицю Adj  I   A . Примечание [М1]:
3) Визначаємо приєднані матриці для чисел  1 , 2 , ... , . Примечание [М2]:
n
4) Утворюємо модальну матрицю таким чином: перший стовпець першої приєднаної Примечание [М3]: Якщо А
квадратна матриця, а с її
матриці буде першим стовпцем модальної матриці; ij
алгебраїчні доповнення, то
другий стовпець другої приєднаної матриці буде другим стовпцем модальної матриці і приєднаною до А називається
т.д. матриця, яка утворена із
алгебраїчних доповнень с ij.
Стовпці модальної матриці вибираються рівними, або пропорційними стовпцям матриць
Adj I   A .
i

Приклад 4.4. Знайти модальну матрицю М, яка відповідає матриці
1 2 
A    .
 1  4 
У відповідності з наведеним алгоритмом знаходимо характеристичне рівняння
  1  2
I  A    2  5  6 ,
1   4
яке має такі корені –    2,    3 .
1 2
Тепер знайдемо приєднану матрицю
  4 2
Adj I   A 
 1   1
і відповідні приєднані матриці для чисел  і 
2
1
2 2
Adj I 1   A  ,
 1  1
1 2
Adj I   A  .
2
 1  2
Утворюємо модальну матрицю
 2 1 
M    .
 1 1 
Оскільки елементи другого стовпця мають спільний множник – 2, то другий стовпець
модальної матриці утворений шляхом ділення його елементів на цей спільний множник.

*
Якщо А квадратна матриця, а с її алгебраїчні доповнення, то приєднаною до А
ij
називається матриця, яка утворена із алгебраїчних доповнень с ji.