Page 69 - 14

72
   I  A . (4.22)
P
Обчислимо значення полінома (4.21) при  0 :
    10P   n   ...  . (4.23)
1 2 n
Теж значення P(0) обчислимо у відповідності з (4.22)
n
    A10P   . (4.24)
Із співвідношення (4.23) і (4.24) випливає, що
A   1  2 ...  ,
n
тобто визначник матриці A дорівнює добутку її характеристичних чисел. У випадку рівності нулю
деякого характеристичного числа визначник матриці A дорівнює нулю і матриця A – особлива.
Розкриваючи дужки в характеристичному рівнянні (4.21) і порівнюючи коефіцієнти при
 n 1 з рівнянням (4.19), приходимо до висновку, що
a    1   2  ...  n .
1
З другої сторони, обчислюючи визначник I   A знаходимо, що коефіцієнт при  n 1
дорівнює сумі діагональних, взятої зі знаком мінус
a       ...    a  a  ...  a .
1 1 2 n 11 22 nn
Таким чином, сума характеристичних чисел квадратної матриці A дорівнює сумі її
діагональних елементів. Враховуючи важливість цієї властивості сумі діагональних елементів
матриці A присвоєно особливу назву – слід матриці.
Отже,
SpA  1   2  ...  n  a  a  ...  a ,
22
11
nn
де SpA– слід матриці A.
K
Позначимо через T слід матриці A . Тоді коефіцієнти характеристичного рівняння (4.19)
K
можна виразити через різні значення T :
K
1 к
a    a T , к  n , 1 . (4.25)
K к i i
к i 1
де a  1.
0
1  3
Приклад 4.3. Знайти характеристичне рівняння матриці A    . У відповідності з
 2 5 
рівнянням (4.18)
  1  3
P   I  A    2  6  1.
 2   5
Тепер знайдемо характеристичне рівняння матриці А, використовуючи формулу (4.25). Для
1
2
n=2 маємо a   T ; a    Ta  T . Знайдемо T  SpA  6 і T  SpA .
1 1 2 1 1 2 1 2
2
1 3   1  3  7 18 
Оскільки A 2         , то T  38 .
2
 2 5   2 5   12 31 
1
Отже, a    6  6  38   1 i  P    2  6  1.
2
2
Як бачимо, різні способи обчислення  P дали однаковий результат. Але знаходження
коефіцієнтів характеристичного рівняння (4.19) за формулою (4.25) є особливо ефективним, коли
для цієї мети використовується ЕОМ.