Page 68 - 14

71
4.3. Кількісне дослідження математичних моделей багатовимірних об’єктів

Перш, ніж розглянути методи кількісного дослідження математичних моделей
багатовимірних об’єктів, зупинимось на деяких допоміжних питаннях.

4.3.1 Характеристичні числа і характеристичні вектори
Розглянемо векторне рівняння
y  A u , (4.15)
де y і u – вектори розмірності n, а A квадратна матриця розміром n x n. Рівняння (4.15) можна
трактувати як перетворення вектора u у вектор y .
Виникає питання – чи існує такий вектор u , який в результаті перетворення A переходить у
вектор, що колінеарний вектору u , тобто
uA   u , (4.16)
де  – скалярний коефіцієнт пропорційності.
Рівняння (4.16) перепишемо наступним чином:
0
 I  A u  .
Так як
a a ... a 
 11 12 1 n
 a a ... a 
A   21 22 2 n  , а I – одинична матриця розміром n x n, то
 ... ... ... ... 
 
a
 n 1 a n 2 ... a nn 
  a u  a u  ...  a u  0
11 1 12 2 1 n n
 a u    a u  ...  a u  0
21 1 22 2 2 n n (4.17)
. . . . . . . . . . . . . .
 a n 1 u  a n 2 u  ...    a nn u  . 0
2
n
1
Відомо, що система рівнянь (4.17) має нетривіальний розв’язок в тому, і тільки в тому
випадку, коли визначник системи (4.17) дорівнює нулю:
I  A  0 . (4.18)
Рівняння (4.18) називається характеристичним рівнянням, яке в розгорнутому вигляді буде
таким:
 n  a  n 1  ...  a   a  0 . (4.19)
1 n 1 n
Корені характеристичного рівняння (4.19) складають характеристичні або власні значення
матриці A. Корені рівняння (4.19) можуть бути різними, кратними і комплексними. При дійсних
елементах матриці A комплексні корені, рівняння (4.19) повинні бути комплексно – спряженими.

4.3.2 Взаємозв’язок між визначником, слідом матриці та її характеристичними
числами
Характеристичне рівняння (4.19) – це поліном степені n відносно змінної :
 P    n  a  n 1  ...  a   a . (4.20)
1 n 1 n
Якщо  , i  n , 1 корені характеристичного рівняння (4.19), то поліном  P можна подати
i
у вигляді простих співмножників
...
            . (4.21)
P
1 2 n
З іншої сторони