Page 66 - 14

69
На механічну систему діють сили – натягу пружини F , ваги F (за
1
2
вирахуванням архимедової сили) і в’язкого тертя F . Оскільки всі векторні
3
величини паралельні осі 0х, а m  const, то можемо записати
dv
m  F  F  F . (4.11)
1
3
2
dt
0
У рівноважному стані v  i F 1  0  F 2  0 , а F 3  0  0 . При відхиленні
системи від рівноважного стану F  0  const , F  F  0   F . Якщо тепер
1 2 2 2
врахувати те, що F 1  0  F 2  0 рівняння (4.11) набуде такого вигляду
dv
m    F  F .
3
2
dt
Допустимо, що сила в’язкого тертя пропорційна швидкості F  av , a F  cy , де c –
3 2
жорсткість пружини. Тоді
dv
m   av  cy . (4.12)
dt
0
Нехай в момент часу t  до системи прикладено збурення   tF  f 1    t . Тоді рівняння
0
(4.12) запишемо у такому вигляді (рис.4.1)
dv
m   av  cy  f 0 1   t .
dt
dy
Враховуючи те, що v  , маємо
dt
d 2 y dy
m  a  cy  f 0  t 1  .
dt 2 dt
Поділивши ліву і праву частини останнього рівняння на c, отримаємо
d 2 y dy
T 2  2 T  y  к f  0 1   t , (4.13)
dt 2 dt
m a 1
де T  ;  ; к  ;
c 2 mc c
T – постійна часу демпфера;
 – коефіцієнт затухання.
Оскільки розглядається рух системи відносно рівноважного стану, то початкові умови
нульові.
Для знаходження розв’язку математичної моделі (4.13) скористаємося операційним
методом. Перетворимо ліву і праву частини диференціального рівняння (4.13) за Лапласом при
нульових початкових умовах. При цьому враховуємо властивості 1 і 2 перетворення Лапласа (див.
1
табл. 4.1) і те, що  t1L    . В результаті отримаємо
p
1

2
T 2 p  2 Tp  1   pY  к  f  p .
0
Звідси
к f 
Y  p  0 .
2
p T 2 p  2 Tp   1
Знайдемо полюси функції Y(p).
1 2
p  0 ; p 3 , 2        1 .
1
T