Page 65 - 14

68

pt
e
  tf  Re s F    p  p K , (4.9)
p
K
pt
p
де Re s F    p  lim p  p K   epF pt – для простих полюсів p , к  n , 1 і
e
K
p K
p p K
1 d   1  pt
pt
Re s F   ep p  lim   p  p K    epF для кратних полюсів з кратністю  .
p K
1  ! p p dp   1
K

Приклад 4.1. У другому розділі ми отримали лінеаризовану математичну модель
гідравлічного об’єкта
dy
T  y  Ku . (4.10)
dt
Знайдемо розв’язок моделі за умови, що   00y  і   utu  1    t , де  t1 – одинична функція.
0
Перетворимо рівняння (4.10) за Лапласом, використавши першу і другу властивості (див. табл.4.1)
Ku
pTY   Yp    p  0 .
p
Із останнього рівняння знаходимо
Ku
Y   p  o .
p Tp   1
Для знаходження розв’язку математичної моделі (4.10) скористаємося формулою (4.9).
Оскільки  pQ  p Tp   1 , то полюси функції  pY знайдемо як розв’язок рівняння Tpp  1  0 .
1
0
Звідси p  i p   . Враховуючи те, що полюси функції Y(p) прості, маємо
1
2
T
Ku
pt
Re s Y   ep pt  lim 0 e  Ku ,
p 0 0
p 0 Tp  1
 1  e pt t  T
pt
Re s Y   ep 1  Ku lim  p     Ku e .
p  0 1 0
T p   T   1 
T pT p  
 T 
Отже, у відповідності з (4.9) знаходимо
y   Kut  1 e t  T  .
0
Тобто після нанесення стрибкоподібного збурення зміна рівня рідини відносно усталеного
значення відбувається за експоненціальним законом.

Приклад 4.2. На рис.4.1 показаний демпфер, який застосовують у механічних системах для
гасіння автоколивань. Він складається із золотника 1, який розміщений в посудині 2 із рідиною, і
пружини 3.
Складемо математичну модель демпфера і знайдемо її розв’язок. Виберемо координатну
вісь так, як показано на рис.4.1. Початок помістимо в т. О, яка відповідає рівноважному станові
системи.
Для складання математичної моделі об’єкта скористаємося законом збереження кількості
руху
d  vm
  i F ,
dt i
де v – швидкість руху рухомої частини системи;
m – маса рухомих частин системи;
i F – сили, які діють на систему.