Page 63 - 14

66
є числові методи, реалізація яких здійснюється за допомогою ЕОМ. Навіть в тому випадку, коли
математична модель об’єкта є лінійною, часто звертаються до числових методів, які, з появою
таких потужних програмних продуктів як Mathcad, стали доступними широкому колу фахівців.

4.2. Кількісне дослідження математичних моделей одновимірних об’єктів

Лінеаризована математична модель об’єкта з одним виходом (одновимірний об’єкт) має
вигляд диференціального рівняння (2.55). Допускається, що початкові умови нульові, а керуюча
дія, яка подається на вхід об’єкта, відома.
Розв’язок математичної моделі (2.55) можна знайти в часовій або в частотній областях.
У часовій області загальний розв’язок диференціального рівняння знаходиться як сума двох
розв’язків
y  t  y   yt   t , (4.5)
ОР ЧР
де y ОР   t – загальний розв’язок однорідного рівняння, тобто рівняння (2.55), в
якому права частина тотожно рівна нулю;
y ЧР  t – частковий розв’язок рівняння (2.55).
Методи знаходження розв’язків y   t і y  t відомі із курсу вищої математики.
ОР ЧР
Процес знаходження розв’язку моделі є досить громіздким особливо тоді, коли
характеристичне рівняння   0pD  має кратні корені і права частина диференціального рівняння
(2.55) має похідні.
Для розв’язку математичної моделі в частотній області застосовують сукупність методів,
які носять назву – операційних.
Суть операційного методу в наступному.
Допустимо, що задана деяка функція f(t), де дійсна змінна t інтерпретується як час. Для
функції f(t) існує перетворення Лапласа (L – перетворення):

 fL    Ft   p  f  et  pt dt . (4.6)
0
L – перетворення (4.6) ставить у відповідність функції f(t) дійсної змінної t функцію F(p)
комплексної змінної p. Функцію f(t) називають оригіналом, а F(p) – зображенням.
Процес знаходження функції F(p) за її оригіналом називають перетворенням Лапласа.
Основні властивості перетворення Лапласа наведені в табл.4.1.
Як видно із табл.4.1 перетворення Лапласа має ряд цінних властивостей, які і обумовили
широке його застосування в теорії аналізу синтезу і систем керування. Наприклад,
диференціювання оригіналу f(t) за змінною t відповідає операції множення F(p) на комплексну
змінну p, а операція інтегрування оригіналу f(t) відповідає діленню F(p) на p. Тобто операції
диференціювання і інтегрування оригіналу замінюються в частотній області більш простими
алгебраїчними операціями – множення і ділення зображення F(p) на p. Це дає можливість
диференціальне рівняння, яке записано відносно шуканої змінної f(t) замінити в частотній області
на алгебраїчне рівняння відносно зображення F(p). Розв’язавши отримане алгебраїчне рівняння
відносно F(p), ми дістанемо зображення розв’язку початкового диференціального рівняння. Для
-1
отримання самого розв’язку слід використати зворотнє перетворення Лапласа (L –
перетворення), яке визначає взаємозв’язок між зображенням F(p) і відповідним йому оригіналом
f(t):
  j 
1
  Ltf 1 F  p  F  ep pt dp (4.7)
2 j
   j
де   ;  – абсциса абсолютної збіжності.
C
C