Page 61 - 14

64
РОЗДІЛ 4
ЯКІСНЕ ТА КІЛЬКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ
МОДЕЛЕЙ

4.1. Поняття якісного та кількісного дослідження
математичних моделей

Якісне дослідження дає можливість виявити певні властивості об’єкта без розв’язку його
математичної моделі.
За результатами якісного дослідження можна, наприклад, визначити лінійність чи
нелінійність об’єкта; чи є об’єкт з розподіленими або з зосередженими параметрами; деякі
динамічні властивості об’єктів та інше.
У першому розділі наведені приклади лінійних і нелінійних об’єктів та об’єктів з
розподіленими та зосередженими параметрами, яким відповідають лінійні та нелінійні моделі
(диференціальні рівняння), а також моделі у вигляді звичайних диференціальних рівнянь і
диференціальних рівнянь в часткових похідних.
Оцінювати динамічні властивості об’єкта за структурою їх математичних моделей можна
лише в тому випадку, коли така модель лінійна і має невисокий порядок – перший або другий.
Наведемо деякі приклади. Розглянемо електричну ланку (рис.4.1) і гідравлічний об’єкт
(див. рис.2.1).
Динаміка електричної ланки описується такою системою рівнянь
U 1   IRp   U 2  p ,
I
U   p  ,
2
Cp
де R i C – електричний опір і ємність ланки;
p – комплексний параметр.
Виключивши із двох останніх рівнянь допоміжну змінну I (струм), знаходимо:
U 1   Up  2 RCp   1 .
Звідси визначаємо передавальну функцію електричної ланки
1
 pW  , (4.1)
Tp  1
де T  RC – постійна часу ланки
Нехай R  6 , 5  10 6 Ом i C  2 , 2  10  6 Ф . Тоді T  6 , 5  2 , 2  12 , 32 c .
В другому розділі (див. приклад на стор.) ми отримали лінеаризовану модель гідравлічного
об’єкта, яку можна подати у вигляді передавальної функції
K
 pW  Г , (4.2)
T p  1
Г
2  gH  0 2 S
де К  , T   gH  0 .
Г Г
 g  g
В формулі (4.2) прийняті ті ж позначення, що і в другому розділі.
2
Допустимо, що H  0  2 , 1 м; q  0  8 , 0 кг с , S  6 , 1 м . Оскільки q  0    gH  0 , то
q  0 8 , 0  3 кг с
  . Якщо робоче тіло – вода, то    , 7 37  10 1 2 . Знаючи ,
 gH  0 1000 , 9 81 2 , 1  Па
знаходимо постійну часу гідравлічної ємності
2 6 , 1 
T   3 1000 , 9  81 2 , 1  8 , 4  10 3 c.
Г
, 7 37  10 , 9  81