Page 58 - 14

61

Обчислимо Q   p  L   t  T . На основі теореми про зсув аргумента в області
 0
комплексного змінного маємо
L    t   T  e   pT .

Отже,   pQ  e  pT . Отриманий ряд – це спадна нескінчена геометрична прогресія, яку
 0
ми обчислили раніше, тобто
1
Q  p  .
1 e  pT
Таким чином, знаходимо
 Y  s 
*
Y   p  L y     tqt    Re s    p s T  .
i 1   e  s i s
Оскільки e   p s T  e  pT e  sT , то
M  Y  s 
  pY *   Re s   pT sT  , (3.66)
i 1 1   e e  s i s
де М – кількість полюсів функції Y(p), враховуючи кратні;
s - полюси функції Y(p);
i
 Y  s  Y  s
Re s  sT   lim s  s i  - для простих полюсів s ;
i
1   e  pT e  s s i s s i 1 e  pT e sT
 Y  s  1 d  1   Y  s 
Re s  lim   ss  - для полюсів кратності  .
  pT sT  s ds  1  i  pT sT 
  e1 e  SS   1  s ! i  1  e e 
i
Із співвідношення (3.66) витікає, метод визначення  pY * безпосередньо в замкнутій формі,
*
коли відоме перетворення Лапласа від функції  ty . Цю операцію називають Д –перетворенням.
1
Приклад 3.4. Допустимо, що   pY  . Знайти  pY * і  zY .
p
1
У функції  pY зробимо заміну p на s і підставимо її значення  sY  у формулу (3.66). В
s
результаті отримаємо
M  1 s 
Y *   p   Re s   pT sT  .
i 1 1   e e  s i s
Знайдемо полюс функції  sY . Для цього досить прирівняти до нуля її знаменник. Тоді
s  0 і M  . Оскільки s простий полюс, то
1
1 1
s  s 
*
Y  p  lim 1 .
s s 1 s 1 e  pT e sT 
Враховуючи значення s , маємо
1
1 e pT
Y *  p  
1 e  pT e pT  1
і відповідно
z
Y  z  .
z  1
Якщо звернутись до табл. 3.2, то бачимо, що зображенню  pY відповідає оригінал  t1 , а
його дискретний аналог – це  kT1 . Д-перетворення функції  kT1 отримано раніше, але іншим