Page 51 - 14

54
lim y  T  lim Y *  p . (3.48)
  0 p 
Доведення.
Доведемо спочатку рівність (3.47).
Знайдемо
 yD    eT  pT  1    ypY *   e0 pT . (3.49)
За визначенням Д-перетворення

yD   T  y  eT  p T .

 0
(3.50)
У формулі (3.50) перейдемо до граничних значень
 

lim D y  T lim  y  eT  pT   y  .
T
P 0 p 0
 0  0
Обчислимо
 1 
  y    T  y   0   y    y   ...2T   y   yT    0  y   yT    yT    yT    ...2T   y   yT    0 .
3
T
2
  0
Останній результат означає, що
   1
  y    T lim   y    T lim y   yT   .
0
     
  0   0
Отже,
lim D  y  T  lim y   yT   0 .
p 0   
Якщо в ліву частину останнього співвідношення замість D  y  T підставити його
значення, що визначається формулою (3.49), то отримуємо
lim e pT  1    ypY *   0  lim y   yT   0 .
p 0   
Звідси безпосередньо випливає рівність (3.47). Докажемо тепер справедливість твердження
(3.48). За визначенням дискретного перетворення Лапласа
 


Y *   p  y   eT  pT  y  0  y  eT  pT .
 0  1
Знайдемо граничне значення функції  pY * при p   . Маємо


lim Y *    yp   lim0  y  eT  pT . (3.51)
p   p  
 1
Оскільки другий доданок в правій частині останньої рівності дорівнює нулю, то
співвідношення (3.51) тотожно рівності (3.48).

3.5.2. Властивості Z –перетворення.
Оскільки Z –перетворення можна отримати із Д-перетворення шляхом підстановки e pT  z
то всі властивості Д-перетворення будуть справедливі і для Z –перетворення, якщо у відповідних
співвідношеннях зробити замінуe pT  z . В результаті отримаємо властивості Z –перетворення, які
зведені в табл.3.1.
Таблиця 3.1 – Властивості Z –перетворення.

№ Властивість Формули для Формули для Z –перетворення
п/п Z –перетворення Д-
перетворення
1. Лінійність (3.32)  n  n
Z   C i Y i   T   C i Y i   z
 i 1  i 1