Page 47 - 14

50
 n  n n
D   C i Y i   T   C i D Y i   T  C i Y i *   p (3.32)
 i 1  i 1 i 1

Зсув аргументна в області оригінала. Якщо функція  TY  є оригіналом і Y *  p її
зображення, то Д-перетворення зміщеної гратчастої функції y   m  T визначається рівністю
 m 1 
kT
yD    m   eT mpT Y *  p  e kpT y   при m  0;

 k 0 
(3.33)
і
yD     m   eT  mpT Y *  P при m  0;
(3.34)
Доведення
За визначенням дискретного перетворення Лапласа


D   y   m  T  y    m  eT  pT .
 0
Зробимо таку заміну m     . Відповідним чином зміняться і межі взяття суми. При
  0 -  m , а при    -  . Крім того    m. Отже,

D y   T  y  eT    m pT .

 m
В останньому виразі за знак оператора суми винесемо величину e mpT , оскільки
дискретна змінна m не залежить від індексу суми  , тобто
   pT 
mpT
D y  T e   e y  T . (3.35)
  m 
Розглянемо суму в формулі (3.35), в якій індекс  змінюється від 0 до  і подамо її у вигляді двох
доданків
 m 1 
 y  eT  pT   y  ekT kpT   y  eT  pT .


 m k 0  m
У першому доданку ми замінили індекс суми  на k. Це завжди можна зробити, оскільки
значення суми не зміниться при заміні одного індексу суми на інший.
Із останнього співвідношення знаходимо
  m 1


 y  eT  pT   y  eT  pT   y  ekT kpT . (3.36)
 m  0 k 0
За визначенням дискретного перетворення Лапласа

 y  eT   pT  Y *   p . (3.37)
  0
Підставляючи спочатку (3.37) в (3.36), а потім отриманий результат в (3.35), приходимо до
висновку, що
 m 1 
D y  T e mpT Y *  p  e kpT y  kT .
 k 0 
Або замінивши  на  m, отримуємо формулу (3.32).

Зсув аргументу в області комплексного змінного. Якщо гратчаста функція  Ty  є
оригіналом, а  pY * її зображення, то має місце співвідношення
pY *   a  D e  a T y  T . (3.38)