Page 49 - 14

52
2
3
D  y 3   eT  pT  1  Y *   ep  pT e pT  1    e0y  pT e pT  1    e0y  pT  2 y  .0 (3.39)
Тепер неважко переконатись, що узагальнення результату (3.39) приводить нас до формули
n 1 n   1
n
 
 yD n   T e pT  1  Y *   ep pT  e pT   1  y   0 , (3.40)
 0
де за визначенням  0 y  0  y  .0
Зображення сум гратчастих функцій. Якщо  Ty  оригінал, а Y *  p його
зображення, то має місце таке співвідношення:
   1  Y *  p
D  y    T  pT . (3.41)
  0  e  1
Доведення.
За визначенням первісної функції (див. ф-лу (3.17)).
 1
  TY  y  T . (3.42)
 0
З іншої боку  Ty    Y  T .
Оскільки  TY  визначається формулою (3.42), то
  1 
y   T    y  T .
 0 
Застосуємо до лівої і правої частин останньої рівності Д-перетворення.
   1  

D y   T D   y   .
T


  0  
Так як yD   YT  *  p , а Д-перетворення від першої різниці знайдемо за формулою (3.39),
коли n 1. Отже,
  1    1 

Y *    Dp   y   T  e pT  1 D  y   .
T

  0    0 
Отримані результати дають можливість записати
  1 
Y *    ep pT 1 D  y  T  .
  0 
  1 
T
Розв’язуючи останнє рівняння відносно D  y   , отримуємо формулу (3.41).

 0 

*
*
Множення зображень. Якщо функції  Ty  і  Ty  оригінали, а  TY  і  TY 
1 2 1 2
їх зображення, то
   * *
D  y 1     m   mTyT 2   Y 1    pYp 2 (3.43)

m   0 
за умови, що   0kTy  і   0kTy  при k<0.
1 2
Оскільки при   m  0 функція y   m   0T , то верхню границю суми у (3.43) можна
1
взяти нескінченно великою
 
 y 1     m   mTyT 2    y 1     m   mTyT 2 .
m 0 m 0
За визначенням дискретного перетворення Лапласа
    

D   y 1    m   mTyT 2    y 1    m   mTyT 2 e  pT .


m 0   0 m 0