Page 50 - 14

53
У останньому виразі під знаком суми зробимо заміну  m  s . Тоді   s  m границі для
зовнішньої суми будуть такими. При  0 - s   m, а при    - s . Отже,
   
  y 1   mTysT 2 e   ms PT   y 1  esT spT   y 2 mT e mpT .
s  m m 0 s  m m 0
За визначенням другий множник у правій частині останнього співвідношення ще Y 2 *  p .
Оскільки для всіх значень s    0sTy 1  , то
0
 
 y 1   esT  spT   y 1  esT  spT  Y 1 *   p .
s  m s 0
Отже, отриманий результат доводить справедливість формули (3.43).

Диференціювання зображень. Якщо гратчаста функція  Ty  є оригіналом, а Y *  p її
зображення, то справедлива рівність
dY *  p
 D     TyT  . (3.44)
dp
Можна показати, що ряд (3.27) збігається рівномірно в області Re p     .
0 c
В такому випадку його можна диференціювати почленно, тобто
d     pT   d   pT    pT
  y  eT    y   eT     T   eTy   D     TyT  .
dp   0    0 dp   0
Отриманий результат і підтверджує справедливість співвідношення (3.44).

Диференціювання зображення за аргументом e  pT . Якщо гратчаста функція  Ty  є
оригіналом, а  pY * її зображенням, то справедлива рівність
dY *   p
e  pT  pT  D     Ty  . (3.45)
d e 
Оскільки ряд (3.27) збігається рівномірно, то його можна диференціювати почленно за
аргументом e  PT , тобто


dY *   p   y  T d e   pT    y  T  e    pT e  pT .
d e  pT    0 d e  pT    0
-pT
Помноживши ліву і праву частини останньої рівності на e , приходимо до виразу (3.45).

Інтегрування в області зображень. Якщо функція є оригіналом  Ty  і при   0 її
значення дорівнює нулю, а  pY * є зображенням, то справедлива наступна рівність:
T
Y    *

D  Y  dss (3.46)
 
 T  p
Доведення.
Оскільки ряд (3.27) збігається рівномірно, то його можна почленно інтегрувати, тобто
    y  T
 Y *  dss   y  T  e s T ds   e  pT .
p  0 p n 0 T
Таким чином, доведена справедливість рівності (3.46).

Граничні значення оригіналів. Якщо гратчаста функція  Ty  є оригіналом, а Y *  p її
зображення, то мають місце співвідношення
lim y   limT  e pT  1   pY * ,
   p 0
(3.47)