Page 48 - 14

51
Останнє співвідношення безпосередньо випливає із визначення дискретного перетворення
Лапласа. Дійсно
 

D e  a T y  T  y  eT  a T e  pT   y  eT   ap T .

 0  0
Зробимо заміну s  p  a . Тоді

 a T  s T *
D e y   T  y  eT  Y   s .
  0
Або, переходячи до старих змінних, отримуємо співвідношення (3.38).

Зображення кінцевих різниць.
Знайдемо  yD  n  T . Для цього виразимо кінцеву різницю n-го порядку через ординати
гратчастих функцій, використавши формулу (3.6)
n
n

 (y  )T     C1   n y    n   T

 .
 0
Візьмемо Д-перетворення від лівої і правої частин останнього співвідношення, скориставшись
лінійністю Д-перетворення та властивістю зсуву аргумента в області оригіналу (ф-ла (3.33)). В
результаті отримаємо
n   n   1 
n

D  y  T    C1  n  *Y  p  y  ekT kpT  .
 0  k 0 
Отримана формула є громіздкою і незручною для практичного використання. Для того, щоб
остання формула набула компактнішого вигляду, будемо послідовно обчислювати  yD  n  T для
n=1, 2, 3, ..., а потім одержаний результат узагальнимо для довільного значення n.
Для n=1 будемо мати
D  y   eT  pT Y *   yp    Y0  *  p .
Після очевидних перетворень отримаємо
D  y   YT  *  ep pT  1  y  e0 pT .
Для n=2
2  1   
2

D  y  T    C1   2 e  2   pT  *Y  p  y  ekT kpT   e 2 pT  *Y   yp   y0  eT  pT 
 0  k 0 
 e 2 pT  *Y   yp    Y0  *  .p
Розкривши дужки і згрупувавши відповідним чином доданки в правій частині останнього
співвідношення, знаходимо
D  y 2   eT  2 pT  e 2 pT  1  *Y   yp    yT   e0 pT  e pT e pT  1   .0y
Оскільки   yTy   0   y  0 , то
2
D  y 2   eT  pT  1  Y *   ep  pT e pT  1    e0y  pT  y  .0
Аналогічно обчислимо Д-перетворення для кінцевої різниці третього порядку (n=3)
3  2   
3
D  y  T    C1   3 e  3   pT  *Y  p  y  ekT kpT   e 3 pT  *Y   yp   y0  eT  pT  y  eT2  pT2 

 0  k 0 
 e 3 2 pT  *Y   yp    y0   eT  pT  3 e pT  *Y   yp    Y0  *  .p
Після групування відповідних доданків суми в правій частині останнього рівняння
приходимо до висновку, що
3
D  y   T e 3 pT  e3 2 pT  e3 pT  1  *Y    yp   yT  e0 2 pT  y   yT2  eT pT  2 y   yT  e0 pT 
 e pT e 2 pT  e 2 pT  1   .0y
Якщо прийняти до уваги, що   yTy   0   y  0 ,   yT2y   T   y  T і
 y  T   y  0   2 y  0 , то