Page 46 - 14
P. 46
49
Y z Z y T .
Між Д- і Z -перетвореннями існує прямий взаємозв’язок, який безпосередньо витікає із
формул (3.27) і (3.28)
Y Yz * e pT z ;
Y * Yp z e pT .
Суть дискретного перетворення Лапласа полягає в тому, що функції дійсного змінного kT
ставиться у відповідність функція комплексного змінного p .
Оскільки між значеннями p і z існує взаємозв’язок, який виражається формулою
z e pT , (3.29)
то логарифмуючи рівняння (3.29), отримаємо
1 1
p ln z ln z j arg z n2 , n , 2 , 1 , 0 .... (3.30)
T T
Обмежившись головним значенням логарифма, отримуємо
1
ln z ;
T
1
arg z . (3.31)
T
Як випливає із співвідношення (3.30) вся площина p розбивається на смуги шириною
2
0 (рис. 3.2). Основний інтерес викликає смуга 0 ; 0 , яка називається основною.
T 2 2
Із рівняння (3.31) виходить, що відрізок уявної осі площини p від 0 до 0 відображається в
2 2
коло одиничного радіуса, а ліва напівсмуга основної смуги в внутрішню область кола, а права
напівсмуга – в зовнішню.
Як випливає із формул (3.27) і (3.28)
принципової різниці між Д- і Z –
перетвореннями не існує. Всі основні
властивості Z –перетворення можуть
бути легко отримані із відповідних
властивостей Д –перетворення.
Величина (рис.3.3)
c
називається абсцисою абсолютної
збіжності Д–перетворення. Область
збіжності Д–перетворення розміщена
вправо від прямої Re p . Якщо
c
c , то ряд (3.27) сходиться скрізь; якщо c , то Д–перетворення не існує.
Для того, щоб ряд збігався, функція Ty (оригінал) повинна
задовольняти умові
y T Me C T ,
де M , c 0 - постійні величини.
3.5.1. Властивості дискретного перетворення Лапласа.
T
Y
Лінійність Д–перетворення. Якщо гратчасті функції ,
i
i 1 , n є оригіналами, а їх зображення відповідно pY i * , i 1 , n, то
має місце рівність