Page 46 - 14
P. 46

49
                                             Y   z   Z y  T  .
                Між  Д-  і  Z -перетвореннями  існує  прямий  взаємозв’язок,  який  безпосередньо  витікає  із
          формул (3.27) і (3.28)
                                            Y    Yz   *  e  pT     z ;
                                            Y  *   Yp   z   e  pT  .
                Суть дискретного перетворення Лапласа полягає в тому, що функції дійсного змінного  kT
          ставиться у відповідність функція комплексного змінного  p .
                Оскільки між значеннями  p  і  z  існує взаємозв’язок, який виражається формулою
                                                                                           z   e  pT  ,                                                                  (3.29)
          то логарифмуючи рівняння (3.29), отримаємо
                                       1      1
                                                             p    ln  z    ln  z   j arg  z   n2   ,      n  , 2 , 1 , 0  ....                     (3.30)
                                       T     T
                Обмежившись головним значенням логарифма, отримуємо
                                                  1
                                                                                          ln  z ;
                                                  T
                                                   1
                                                                                         arg  z .                                                                (3.31)
                                                  T
                Як  випливає  із  співвідношення  (3.30)  вся  площина  p   розбивається  на  смуги  шириною
               2                                             
            0     (рис. 3.2). Основний інтерес викликає смуга    0  ;  0    , яка називається основною.
                                                       
               T                                         2   2  
                                                                          
           Із рівняння (3.31) виходить, що відрізок уявної осі площини  p  від   0   до   0   відображається в
                                                                     2     2
            коло одиничного радіуса, а ліва напівсмуга основної смуги в внутрішню область кола, а права
                                         напівсмуга – в зовнішню.
                                                          Як  випливає  із  формул  (3.27)  і  (3.28)
                                                          принципової  різниці  між  Д-  і  Z –
                                                          перетвореннями  не  існує.  Всі  основні
                                                          властивості   Z –перетворення   можуть
                                                          бути  легко  отримані  із  відповідних
                                                          властивостей Д –перетворення.
                                                               Величина            (рис.3.3)
                                                                                 c
                                                          називається   абсцисою   абсолютної
                                                          збіжності   Д–перетворення.   Область
                                                          збіжності  Д–перетворення  розміщена
                                                          вправо  від  прямої      Re  p .  Якщо
                                                                               c
           c     , то ряд (3.27) сходиться скрізь; якщо  c     , то Д–перетворення не існує.
                                   Для  того,  щоб  ряд  збігався,  функція   Ty     (оригінал)  повинна
                                   задовольняти умові
                                                             
                                                          y  T  Me   C  T  ,
                                   де  M  , c    0 - постійні величини.

                                        3.5.1. Властивості дискретного перетворення Лапласа.
                                                                                          T
                                                                                       Y 
                                        Лінійність  Д–перетворення.  Якщо  гратчасті  функції   ,
                                                                                        i
                                   i 1  ,  n  є оригіналами, а їх  зображення відповідно   pY i *  ,  i 1  ,  n, то
                                   має місце рівність
   41   42   43   44   45   46   47   48   49   50   51