Page 45 - 14

48
З початковими умовами  0 y  ,   Ty 1 , … ,  ny  1   T  n  1 .
0
При цьому коефіцієнти a і b зв’язані з коефіцієнтами A і B співвідношеннями
i i i i
i
a i     C1  i  n  i  A , i  , 0 n;



 0
j
b j    1  j  C m  j  B , j  , 0 m , (3.26)


 0
а початкові умови не перераховуються за формулою (3.13), в якій і змінюється в межах від 0 до
n  1.
Приклад 3.3. Різницеве рівняння
2  2 y  T  2,0  y   yT    uT   T
з початковими умовами   00 y 5 , ,   00 y 1 , привести до виду
a y   k  2   aT  y   k  1   aT  y   ukT   kT
0 1 2
з початковими умовами   0y   ,  Ty   . Коефіцієнти a 0 ,a і a обчислимо за формулою
0
1
2
1
(3.25)
a A  2 , a  C 1 A  A   2A  A   8 , 3 ,
0 0 1 2 0 1 0 1
a 2  A 0  A 1  A 2  2  2 , 0  1  8 , 2 .
Оскільки  y  T    y  1   yT   T , то при   0 маємо  y  0  y   yT   0 . Звідси
y    yT  0  y  0    1 , 0  5 , 0  6 , 0 .
1
Отже, маємо другу форму різницевого рівняння
2   y   2  T  8,3   y  1  T  8,2 y   uT   T
З початковими умовами   0  y 0  5 , 0 ,    Ty 1  6 , 0 .

Різницеве рівняння, яке подане в формі (3.24), має ту перевагу, що при відомому значенні
функції  Tu  ,   , 2 , 1 , 0 ... і заданих початкових умовах ординати функції  Ty  легко
обчислити за допомогою ЕОМ. Іншими словами, різницеве рівняння в формі (3.24) слід
розглядати як деяке рекурентне співвідношення, за допомогою якого послідовно (крок за кроком)
можна обчислити ординати функції  Ty  ,   , 2 , 1 , 0 ... при відомих значеннях функції  Tu  і
заданих початкових умовах    Tyy 0 , , ... y ,   n 1  T .

3.5. Дискретне перетворення Лапласа

Перетворення Лапласа, яке широко застосовується для розв’язку лінійних диференціальних
рівнянь (лінеризованих моделей об’єктів) і визначення реакції об’єктів на неперервні сигнали,
можна використовувати для розв’язку різницевих рівнянь.
Дискретне перетворення Лапласа визначається формулою

  pY *   y   eT  p T , (3.27)
  0
де p     j – комплексна змінна.
Перетворення (3.27) називають ще Д-перетворенням і скорочено позначається як
Y *  p  D y  T . Функція  pY * , яка визначається формулою (3.27) називається зображенням.
Поряд з Д-перетворенням в теорії автоматичного керування застосовують так зване Z -
pT
перетворення, яке отримують із формули (3.27) шляхом зміни e на z . Тобто

  zY  z   y  . (3.28)
T
 0
Z - перетворення скорочено позначається так