Page 44 - 14

47
 1 
 Te T  T   T   e T . (3.22)
 0 e 1  0

Суму  T   e T  обчислимо частинами, скориставшись співвідношенням (3.21). Введемо
 0
такі позначення:  Ty    T і   eTy    T . Тоді у відповідності з (3.21) маємо
1
2
  1 
  T e  T   Te  T   e   1 T   T .
 0 0  0
Оскільки   T    1 T  T  T , то
 

 T   e T     1 Te    1 T T  e    1 T .
 0  0
Обчислимо

1
T

 
 e    1 T  e  T   2 T  ...     .
e


e



  0
  1 членів
Справа в останньому виразі маємо суму чисел геометричної прогресії, яку обчислимо за
формулою
a q   1   1
S  1 ,

q  1

T

T
де a  e , q  e . Відповідно
1 1
T e    T  1  1
S  e  .
  T
e  1
Отже,
 T e   1 T 1  e   1 T 1 
  T   e  T      1 Te   1 T Te   T  Te  T     1 e  T   T  .

 0 e 1  e 1 
Повертаючись до співвідношення (3.22), маємо
 Te  T  e   1 T 1 
  Te  nT   T       1 e  T   T .

 0 e 1  e 1 

3.4. Поняття різницевого рівняння гратчастих функцій

Всяке співвідношення, яке зв’язує гратчасту функцію  Ty  і її різниці до деякого порядку
n називається різницевим рівнянням. За визначенням різницевого рівняння
n
 T , y  ,yT   ...,T , y   0T . (3.23)
Гратчаста функція  Ty  , яка перетворює рівняння (3.23) в тотожність, називається
розв’язком різницевого рівняння.
Ми будемо розглядати лінійні різницеві рівняння n -го порядку
A  n y   AT   n1 y  T  ...  A  y   AT  y  nT  B  m u   BT   m1 u  T  ... 
0 1 n1 n 0 1

 A  u   BT  u  T
m1 m (3.24)
З початковими умовами   0 y  ,  0 y  , … , n  1y   0   n 1  .
0
1
Для реальних систем має місце співвідношення m  .
n
Якщо використати формулу (3.6), то рівняння (3.24) можна перетворити до такого вигляду:
a 0   y   n   aT  1   y   n  1  T  ...  a n 1   y   1   aT  n y   bT  0   u   m  T 
(3.25)
 b 1   u   m  1  T  ...  b m 1   u   1   bT  m u  ,T