Page 43 - 14

46
 1 N 1
Y   T  y  T  y  YT NT .
     
 1 N 1  1
Оскільки  y   T  y  T  y  
T
   n   n N
то
  1
Y    T  y   YT  NT .
  N
Звідси
 1
T
 TY Y NT    y  . (3.20)
 N
Формула (3.20) є аналогом відповідної формули інтегрального числення
t

Y( t) Y( a)  y  d .
a
3.3.1. Обчислення сум частинами. В формулі (3.20) покладемо N  0. Тоді
 1
Y  T Y   0  y  .
T
 0
Звідси
  1
Y    T  y   YT    0 .
  0
За визначенням первісної функції Y  T  y  T . Отже,
  1
Y    T   Y   YT    0 .
  0
Нехай  TY   y    TyT  і згідно формули (3.15) Y   T   y     TyT 
1 2 1 2
 y   yT    yT    1   yT   T ;  0Y  y  0 y  0 . З врахуванням значень  Y  T і  0Y
1 2 2 1 1 2
остання формула набуде такого вигляду:
  1 k 1
y 1      T y 2 T  y 1   yT  2 ( T )   y 2     1   yT  1 ( T ) y 1 0 ( ) y  2 0 ( ).
  0   0
В останній формулі зробимо заміну  на  1. Тоді
 
  
y     1 T y  1 T  y   yT  ( T )   y    1   yT  ( T )  y ) 0 (  y ) 0 ( .
   
1 2 1 2 2 1 1 2
  0   0
Із останнього рівняння знаходимо
 
 y 1   yT  2    T y 1     1 T y 2  1   yT  1 ) 0 (  y 2 ) 0 (    y 1    (yT 2   1  )T .
   
  0   0
Отриманий результат дає можливість записати формулу для обчислення сум частинами
   1 
 y 1   yT  2  T  y 1 ( T ) y 2 ( T )    y 1   (yT 2   1  )T . (3.21)
  0 0   0


Приклад 3.2. Знайти  Te T . Маємо  e  T  e     1  T  e  T  e  T e  T   1 . Останню
 0
рівність помножимо на T і візьмемо суму лівої і правої частини. Тоді
 
 T   e T   e T 1   Te T .
n 0 n 0
З останнього рівняння знаходимо, що