Page 42 - 14

45
Формули (3.12) і (3.13) виражають значення гратчастої функції через її кінцеві різниці до і-
того порядку включно. Ці формули можна розглядати як дискретний аналог розкладу неперервної
функції в ряд Тейлора.

3.2.4. Різниця від добутку двох гратчастих функцій. Нехай задані гратчасті функції
y 1  T і  Ty  . Знайдемо y 1    TyT 2  . За визначенням першої різниці
2
y    TyT   y     1   yT  1   yT     TyT  . (3.14)
1 2 1 2 1 2
До правої частини одержаного виразу додамо і віднімемо величину   yTy    1  T . Тоді
1 2
 y 1    TyT 2   y 2     1   yT 1   1   yT  1   yT  1   yT 2   1   yT  2  T .
Враховуючи те, що y 1  T  y 1    1   yT  1  T і y 2  T  y 2    1   yT  2  T маємо
y 1    TyT 2   y 1   yT  2   yT  2     1   yT  1  T . (3.15)
Якщо до правої частини співвідношення (3.14) додати і відняти величину
y 1    1    TyT 2  , то аналогічно доказується, що
y    TyT   y     1   yT    yT    yT   T . (3.16)
1 2 1 2 2 1

3.3. Обчислення сум гратчастих функцій

Розглянемо тепер операцію, яка є зворотною по відношенню до операції взяття кінцевих
різниць. Нехай задана гратчаста функція  Ty  , яка визначена при додатних значеннях аргумента
  , 2 , 1 , 0 ... .. Необхідно знайти таку гратчасту функцію  TY  , для якої функція  Ty  є першою
її різницею.
Функцію  TY  будемо шукати у такому вигляді:
 1
  TY  y  . (3.17)
T
 0
Обчислимо Y  T . За визначенням першої різниці
 Y   YT     1   YT   T .
З врахуванням формули (3.17) маємо
  1  1  1
  
  

T
 
 Y  T  y  T  y  T  y   yT     y  T y  T
 .
  
 0  0  0  0
Отже, Y  T  y  T , тобто функція  Ty  є першою різницею функції (3.17). Функція
Y  T є первісною для гратчастої функції  Ty  .
Якщо функція  TY  є первісною для функції  Ty  , то і функція   CTY   , де C  const ,
є первісною для функції  Ty  . Дійсно Y   CT    Y  T   C . Оскільки C  0, то
 Y   CT     Y  T  y  T .
У загальному випадку
 1
   T  y   CT  . (3.18)
Y
  
Значення постійної величини C можна знайти при певному фіксованому   N .
N 1
NTY    y   CT  . (3.19)
  
Із останнього рівняння знаходимо
N 1
C  Y NT   y  T
 .
  
Підставляючи значення C в формулу (3.18), отримуємо